Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38 градусов. Найдите угол при вершине этого треугольника. Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53).

На изображении представлено несколько задач. Давай решим первую из раздела «Вариант 2» и задачу про треугольник. **Вариант 2** 1. **Угол при основании равнобедренного треугольника равен $38^{\circ}$. Найдите угол при вершине этого треугольника.** **Ответ: $104^{\circ}$** Решение: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании по $38^{\circ}$. Сумма углов треугольника всегда равна $180^{\circ}$. Угол при вершине = $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 2. **Найдите градусную меру угла $CFN$ (рис. 53).** **Ответ: $44^{\circ}$** Решение: На рисунке 53 прямые $MN$ и $AC$ пересечены секущими. Угол $MDK = 107^{\circ}$, а смежный с ним угол $KDA = 180^{\circ} - 107^{\circ} = 73^{\circ}$. Так как соответственные углы при прямых $MN, AC$ и секущей $AD$ равны (углы $MKD$ и $KDA$ оба по $73^{\circ}$ — это накрест лежащие углы), то прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). Угол $CFN$ и угол $FCA$ ($44^{\circ}$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $FC$. Следовательно, они равны. $\angle CFN = 44^{\circ}$. 3. **В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 60^{\circ}$. На катете $BC$ отметили точку $K$ такую, что $\angle AKC = 60^{\circ}$. Найдите отрезок $CK$, если $BK = 12$ см.** **Ответ: $6$ см** Решение: 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 2) В $\triangle ABK$: $\angle BAK = \angle BAC - \angle KAC = 60^{\circ} - \angle KAC$. В $\triangle ACK$: $\angle KAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Тогда в $\triangle ABK$: $\angle BAK = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Так как в $\triangle ABK$ два угла равны ($\angle B = 30^{\circ}$ и $\angle BAK = 30^{\circ}$), треугольник $ABK$ — равнобедренный, и $AK = BK = 12$ см. 3) В прямоугольном $\triangle ACK$: против угла в $30^{\circ}$ ($\angle KAC = 30^{\circ}$) лежит катет $CK$, равный половине гипотенузы $AK$. $CK = \frac{1}{2} AK = \frac{12}{2} = 6$ см.