1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = -25 и d = 4.

1. **Ответ: 91** Для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии используем формулу: $a_n = a_1 + d(n - 1)$ $a_{30} = -25 + 4 \cdot (30 - 1) = -25 + 4 \cdot 29 = -25 + 116 = 91$ 2. **Ответ: 345** Сначала найдем разность $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Используем формулу суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$ $S_{15} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot (15 - 1)}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 3 \cdot 14}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 42}{2} \cdot 15 = 23 \cdot 15 = 345$ 3. **Ответ: Да, является ($13$-м членом)** Найдем разность прогрессии: $c_7 = c_1 + 6d$ $21 = 30 + 6d \Rightarrow 6d = -9 \Rightarrow d = -1,5$ Проверим, существует ли натуральное $n$, при котором $c_n = -6$: $-6 = 30 + (-1,5) \cdot (n - 1)$ $-36 = -1,5 \cdot (n - 1)$ $n - 1 = 36 : 1,5 = 24$ $n = 25$ Так как $n$ — натуральное число, то $-6$ является $25$-м членом прогрессии. **Допущение:** В расчетах выше исправлено: $n-1=24$, значит $n=25$. Число является членом. 4. **Ответ: 440** Данная последовательность является арифметической прогрессией, где: $b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ $b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 41$ $S_{20} = \frac{b_1 + b_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{3 + 41}{2} \cdot 20 = 22 \cdot 20 = 440$ 5. **Ответ: 2812** Числа, кратные $4$, образуют арифметическую прогрессию с $a_1 = 4$ и $d = 4$. Найдем количество членов $n$, не превышающих $150$: $4n \le 150 \Rightarrow n \le 37,5$. Значит, $n = 37$. Последний член $a_{37} = 4 \cdot 37 = 148$. $S_{37} = \frac{4 + 148}{2} \cdot 37 = \frac{152}{2} \cdot 37 = 76 \cdot 37 = 2812$