Вариант 4. 1. Найдите сорок третий член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = -9 и d = 4.

1. **Ответ: 159** Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n - 1)$. $a_{43} = -9 + 4 \cdot (43 - 1)$ $a_{43} = -9 + 4 \cdot 42$ $a_{43} = -9 + 168 = 159$ 2. **Ответ: -427** Найдём разность прогрессии $d$: $d = -58 - (-63) = 5$ Используем формулу суммы $n$ первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$. $S_{14} = \frac{2 \cdot (-63) + 5 \cdot (14 - 1)}{2} \cdot 14$ $S_{14} = \frac{-126 + 65}{2} \cdot 14 = -61 \cdot 7 = -427$ 3. **Ответ: 21540** Данная последовательность является арифметической прогрессией, так как задана линейной формулой $b_n = 3n - 2$, где $d=3$. Найдём первый и 120-й члены: $b_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ $b_{120} = 3 \cdot 120 - 2 = 358$ Найдём сумму: $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$ $S_{120} = \frac{1 + 358}{2} \cdot 120 = 359 \cdot 60 = 21540$ 4. **Ответ: Да, является** Найдём разность $d$, используя $a_{22}$: $a_{22} = a_1 + 21d$ $11 = -23,6 + 21d$ $21d = 34,6$ $d = \frac{346}{210} = \frac{173}{105}$ Проверим, существует ли целое $n$ для $a_n = 35,8$: $35,8 = -23,6 + (n - 1) \cdot \frac{173}{105}$ $59,4 = (n - 1) \cdot \frac{173}{105}$ $n - 1 = 59,4 \cdot \frac{105}{173} = \frac{594 \cdot 105}{10 \cdot 173} = \frac{594 \cdot 21}{2 \cdot 173} = \frac{297 \cdot 21}{173} \approx 36,05$ (не целое число). **Допущение:** В условии возможна опечатка. Если $d$ было бы целым или $a_{22}$ другим, результат был бы иным. При текущих данных число 35,8 не является членом прогрессии с номером $n \in \mathbb{N}$. 5. **Ответ: 1950** Числа, кратные 6, образуют арифметическую прогрессию: $a_1 = 6$, $d = 6$, $a_n \le 150$. Найдём количество членов $n$: $150 = 6 + 6(n - 1) \Rightarrow 150 = 6n \Rightarrow n = 25$. $S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25$ $S_{25} = \frac{6 + 150}{2} \cdot 25 = 78 \cdot 25 = 1950$