Вариант 3. К-6 (§ 9). 1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = -15 и d = 3.

**1.** **Ответ: 51** Используем формулу $n$-го члена: $a_n = a_1 + d(n - 1)$. $a_{23} = -15 + 3 \cdot (23 - 1) = -15 + 3 \cdot 22 = -15 + 66 = 51$. **2.** **Ответ: -352** 1) Найдем разность: $d = a_2 - a_1 = 4 - 8 = -4$. 2) Используем формулу суммы: $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$. $S_{16} = \frac{2 \cdot 8 + (-4) \cdot (16 - 1)}{2} \cdot 16 = \frac{16 - 60}{2} \cdot 16 = -22 \cdot 16 = -352$. **3.** **Ответ: Да, является десятым членом.** 1) Найдем разность $d$, используя $c_6 = c_1 + 5d$: $-11 = -31 + 5d$ $20 = 5d$ $d = 4$ 2) Проверим, существует ли такое натуральное $n$, что $c_n = 5$: $5 = -31 + 4(n - 1)$ $36 = 4(n - 1)$ $9 = n - 1$ $n = 10$. Так как $n$ — натуральное число, то 5 является членом прогрессии. **4.** **Ответ: 7200** 1) Найдем первый член: $b_1 = 4 \cdot 1 - 2 = 2$. 2) Найдем 60-й член: $b_{60} = 4 \cdot 60 - 2 = 238$. 3) Найдем сумму: $S_{60} = \frac{b_1 + b_{60}}{2} \cdot 60 = \frac{2 + 238}{2} \cdot 60 = 120 \cdot 60 = 7200$. **5.** **Ответ: 1617** 1) Числа, кратные 7, образуют арифметическую прогрессию, где $a_1 = 7, d = 7$. 2) Найдем количество членов ($n$), не превышающих 150: $7n \le 150 \Rightarrow n \le 21,4...$, значит $n = 21$. 3) Найдем последний член: $a_{21} = 7 \cdot 21 = 147$. 4) Сумма: $S_{21} = \frac{7 + 147}{2} \cdot 21 = \frac{154}{2} \cdot 21 = 77 \cdot 21 = 1617$.