Вариант 1. 1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = -25 и d = 4.

1. **Ответ: 91** Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1)d$. $a_{30} = -25 + (30 - 1) \cdot 4 = -25 + 29 \cdot 4 = -25 + 116 = 91$. 2. **Ответ: 345** Сначала найдём разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Используем формулу суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$. $S_{15} = \frac{2 \cdot 2 + (15 - 1) \cdot 3}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 14 \cdot 3}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 42}{2} \cdot 15 = 23 \cdot 15 = 345$. 3. **Ответ: Да, является ($n = 25$)** Найдём разность $d$. Зная $c_7 = c_1 + 6d$, получим: $21 = 30 + 6d \Rightarrow 6d = -9 \Rightarrow d = -1,5$. Проверим, существует ли натуральное $n$, при котором $c_n = -6$: $-6 = 30 + (n - 1) \cdot (-1,5)$ $-36 = -1,5(n - 1)$ $n - 1 = 36 : 1,5 = 24$ $n = 25$. Так как $n$ — натуральное число, то $-6$ является 25-м членом прогрессии. 4. **Ответ: 440** Последовательность $b_n = 2n + 1$ является арифметической прогрессией, так как разность между соседними членами постоянна. Найдём первый и двадцатый члены: $b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ $b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 41$ $S_{20} = \frac{b_1 + b_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{3 + 41}{2} \cdot 20 = 22 \cdot 20 = 440$. 5. **Ответ: 2812** Числа, кратные 4, образуют арифметическую прогрессию $a_n = 4n$, где $a_1 = 4$ и $d = 4$. Найдём количество членов $n$, не превышающих 150: $4n \le 150 \Rightarrow n \le 37,5$. Значит, $n = 37$. Последний член $a_{37} = 4 \cdot 37 = 148$. $S_{37} = \frac{a_1 + a_{37}}{2} \cdot 37 = \frac{4 + 148}{2} \cdot 37 = \frac{152}{2} \cdot 37 = 76 \cdot 37 = 2812$.