Найти тридцатый член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = -25 и d = 4.

1. Чтобы найти тридцатый член арифметической прогрессии, используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$. В нашем случае $a_1 = -25$, $d = 4$, и $n = 30$. $$a_{30} = -25 + (30-1) imes 4$$ $$a_{30} = -25 + 29 imes 4$$ $$a_{30} = -25 + 116$$ $$a_{30} = 91$$ **Ответ: 91** 2. Чтобы найти сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, сначала найдем разность прогрессии $d$, а потом пятнадцатый член $a_{15}$. Затем используем формулу суммы $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$. Нам дано: $a_1 = 2$ и $a_2 = 5$. Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Теперь найдем $a_{15}$: $$a_{15} = a_1 + (15-1)d$$ $$a_{15} = 2 + 14 imes 3$$ $$a_{15} = 2 + 42$$ $$a_{15} = 44$$ Теперь найдем сумму $S_{15}$: $$S_{15} = \frac{(a_1 + a_{15})15}{2}$$ $$S_{15} = \frac{(2 + 44)15}{2}$$ $$S_{15} = \frac{46 imes 15}{2}$$ $$S_{15} = 23 imes 15$$ $$S_{15} = 345$$ **Ответ: 345** 3. Чтобы определить, является ли число $-6$ членом арифметической прогрессии $(c_n)$, нужно проверить, существует ли такое целое число $n$, для которого $c_n = -6$. Используем формулу $c_n = c_1 + (n-1)d$. Нам дано: $c_1 = 30$ и $c_7 = 21$. Сначала найдем разность прогрессии $d$: $$c_7 = c_1 + (7-1)d$$ $$21 = 30 + 6d$$ $$6d = 21 - 30$$ $$6d = -9$$ $$d = -\frac{9}{6}$$ $$d = -1.5$$ Теперь подставим $c_n = -6$ в формулу общего члена: $$-6 = 30 + (n-1)(-1.5)$$ $$-6 - 30 = -1.5(n-1)$$ $$-36 = -1.5(n-1)$$ $$n-1 = \frac{-36}{-1.5}$$ $$n-1 = 24$$ $$n = 24 + 1$$ $$n = 25$$ Поскольку $n$ является целым положительным числом, число $-6$ является членом арифметической прогрессии. **Ответ: Да, является** 4. Чтобы найти сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой $b_n = 2n + 1$, нам нужно найти первый член $b_1$ и двадцатый член $b_{20}$. Затем используем формулу суммы $S_n = \frac{(b_1 + b_n)n}{2}$. Найдем $b_1$: $$b_1 = 2(1) + 1 = 3$$ Найдем $b_{20}$: $$b_{20} = 2(20) + 1 = 40 + 1 = 41$$ Теперь найдем сумму $S_{20}$: $$S_{20} = \frac{(b_1 + b_{20})20}{2}$$ $$S_{20} = \frac{(3 + 41)20}{2}$$ $$S_{20} = \frac{44 imes 20}{2}$$ $$S_{20} = 44 imes 10$$ $$S_{20} = 440$$ **Ответ: 440** 5. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, сначала определим, какие это числа. Они образуют арифметическую прогрессию с $a_1 = 4$ и $d = 4$. Последнее число в этой прогрессии, которое не превышает 150, — это $a_n$. Найдем его. $150 \div 4 = 37$ с остатком $2$. Значит, последнее число, кратное 4, это $4 \times 37 = 148$. Итак, $a_1 = 4$, $d = 4$, $a_n = 148$. Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$148 = 4 + (n-1)4$$ $$148 - 4 = 4(n-1)$$ $$144 = 4(n-1)$$ $$n-1 = \frac{144}{4}$$ $$n-1 = 36$$ $$n = 36 + 1$$ $$n = 37$$ Теперь найдем сумму $S_{37}$: $$S_{37} = \frac{(a_1 + a_{37})n}{2}$$ $$S_{37} = \frac{(4 + 148)37}{2}$$ $$S_{37} = \frac{152 imes 37}{2}$$ $$S_{37} = 76 \times 37$$ $$S_{37} = 2812$$ **Ответ: 2812**