Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = -25 и d = 4.

1. **Ответ: 91** Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n - 1)$. $a_{30} = -25 + 4 \cdot (30 - 1) = -25 + 4 \cdot 29 = -25 + 116 = 91$. 2. **Ответ: 345** Сначала найдём разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Затем найдём сумму по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$: $S_{15} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot (15 - 1)}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 3 \cdot 14}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 42}{2} \cdot 15 = 23 \cdot 15 = 345$. 3. **Ответ: Да, является ($n = 25$)** Найдём разность $d$. Зная $c_7 = c_1 + 6d$, получим: $21 = 30 + 6d \Rightarrow 6d = -9 \Rightarrow d = -1,5$. Проверим, существует ли такое целое $n$, что $c_n = -6$: $-6 = 30 + (-1,5)(n - 1)$ $-36 = -1,5(n - 1)$ $n - 1 = 36 : 1,5$ $n - 1 = 24 \Rightarrow n = 25$. Так как $n$ — натуральное число, то $-6$ является 25-м членом прогрессии. 4. **Ответ: 440** Последовательность является арифметической прогрессией, где: $b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ $b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 41$ Сумма $S_{20} = \frac{b_1 + b_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{3 + 41}{2} \cdot 20 = 22 \cdot 20 = 440$. 5. **Ответ: 2250** Числа, кратные 5, образуют арифметическую прогрессию: $a_1 = 5, d = 5, a_n = 150$. Найдём количество членов $n$: $150 = 5 + 5(n - 1) \Rightarrow 145 = 5(n - 1) \Rightarrow n - 1 = 29 \Rightarrow n = 30$. Сумма $S_{30} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{5 + 150}{2} \cdot 30 = 155 \cdot 15 = 2325$. **Допущение:** В пятом задании под «натуральными числами, кратными...» обычно имеется в виду конкретное число, которое плохо пропечаталось. Судя по окончанию «-х», это число 5 (кратных пяти).