Решите уравнения: а) 3 sin²x - 5 sinx - 2 = 0; б) 3 sin²2x + 10 sin2x + 3 = 0; в) 4 sin²x + 11 sinx - 3 = 0; г) 2 sin²(x/2) - 3 sin(x/2) + 1 = 0.

Для решения этих тригонометрических уравнений используем метод замены переменной, чтобы свести их к квадратным уравнениям. **а) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$** Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. $3t^2 - 5t - 2 = 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$ $t_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2$ (не подходит, так как $2 > 1$) $t_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}$ Обратная замена: $\sin x = -\frac{1}{3}$ **Ответ: $x = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** **б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$** Пусть $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$. $3t^2 + 10t + 3 = 0$ $D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$ $t_1 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-10 - 8}{6} = -3$ (не подходит, так как $-3 < -1$) Обратная замена: $\sin 2x = -\frac{1}{3}$ $2x = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n$ **Ответ: $x = \frac{(-1)^{n+1}}{2} \arcsin\frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$** **в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0$** Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. $4t^2 + 11t - 3 = 0$ $D = 121 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$ $t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{1}{4}$ $t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = -3$ (не подходит) Обратная замена: $\sin x = \frac{1}{4}$ **Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** **г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$** Пусть $t = \sin \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$. $2t^2 - 3t + 1 = 0$ $D = 9 - 8 = 1$ $t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$ $t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$ Обратная замена: 1) $\sin \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x_1 = \pi + 4\pi n$ 2) $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x_2 = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ **Ответ: $x = \pi + 4\pi n; x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k; n, k \in \mathbb{Z}$**