Решите уравнения: а) 6 cos² x + cos x - 1 = 0; б) 2 sin² x + 3 cos x = 0; в) 4 cos² x - 8 cos x + 3 = 0; г) 5 sin² x + 6 cos x - 6 = 0.

165. Решим тригонометрические уравнения с помощью замены переменной. а) $6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Тогда: $6t^2 + t - 1 = 0$ $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$ $t_1 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-1 - 5}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$ 1) $\cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.** б) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$ Используем основное тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$ $2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$ $2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$ Пусть $t = \cos x$, $|t| \le 1$: $2t^2 - 3t - 2 = 0$ $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25$ $t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ (не подходит, так как $2 > 1$) $t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$ $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.** в) $4 \cos^2 x - 8 \cos x + 3 = 0$ Пусть $t = \cos x$, $|t| \le 1$: $4t^2 - 8t + 3 = 0$ $D = 64 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$ $t_1 = \frac{8 + 4}{8} = 1.5$ (не подходит) $t_2 = \frac{8 - 4}{8} = 0.5$ $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.** г) $5 \sin^2 x + 6 \cos x - 6 = 0$ Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$: $5(1 - \cos^2 x) + 6 \cos x - 6 = 0$ $5 - 5 \cos^2 x + 6 \cos x - 6 = 0$ $-5 \cos^2 x + 6 \cos x - 1 = 0$ $5 \cos^2 x - 6 \cos x + 1 = 0$ Пусть $t = \cos x$, $|t| \le 1$: $5t^2 - 6t + 1 = 0$ $D = 36 - 20 = 16$ $t_1 = \frac{6 + 4}{10} = 1$ $t_2 = \frac{6 - 4}{10} = 0.2$ 1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = 0.2 \Rightarrow x = \pm \arccos 0.2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $2\pi n; \pm \arccos 0.2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.**