18.8. а) 2 sin² x + 3 cos x = 0; б) 8 sin² 2x + cos 2x + 1 = 0; в) 5 cos² x + 6 sin x - 6 = 0; г) 4 sin 3x + cos² 3x = 4.

**Ответ:** а) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ в) $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{5}\right) + \pi n; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ г) $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$ **Решение:** Во всех уравнениях используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, чтобы привести их к одной функции. а) $2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$ $-2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0$ Пусть $\cos x = t$, где $|t| \le 1$. $2t^2 - 3t - 2 = 0$ $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25$ $t_1 = \frac{3+5}{4} = 2$ (не подходит) $t_2 = \frac{3-5}{4} = -0,5$ $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. б) $8(1 - \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0$ $-8 \cos^2 2x + \cos 2x + 9 = 0$ $8 \cos^2 2x - \cos 2x - 9 = 0$ Пусть $\cos 2x = t$, $|t| \le 1$. $t_1 = -1, t_2 = \frac{9}{8}$ (не подходит) $\cos 2x = -1 \Rightarrow 2x = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. *Примечание: в ответе выше указано решение для случая, если в условии опечатка и перед cos нет знака. Если решать строго по фото:* $D = 1 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 289 = 17^2$ $t = \frac{1 \pm 17}{16} \Rightarrow t = -1$. $2x = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. в) $5(1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 6 = 0$ $-5 \sin^2 x + 6 \sin x - 1 = 0$ $5 \sin^2 x - 6 \sin x + 1 = 0$ Пусть $\sin x = t$, $|t| \le 1$. $t_1 = 1, t_2 = \frac{1}{5}$ 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ 2) $\sin x = \frac{1}{5} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{5}\right) + \pi k$. г) $4 \sin 3x + (1 - \sin^2 3x) = 4$ $-\sin^2 3x + 4 \sin 3x - 3 = 0$ $\sin^2 3x - 4 \sin 3x + 3 = 0$ Пусть $\sin 3x = t$, $|t| \le 1$. $t_1 = 1, t_2 = 3$ (не подходит) $\sin 3x = 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.