О18.6. а) 3 sin² x - 5 sin x - 2 = 0; б) 3 sin² 2x + 10 sin 2x + 3 = 0; в) 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0; г) 2 sin² x/2 - 3 sin x/2 + 1 = 0.

Для решения этих тригонометрических уравнений мы будем использовать метод введения новой переменной. а) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. $3t^2 - 5t - 2 = 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$ $t_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2$ (не подходит, так как $2 > 1$) $t_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}$ $\sin x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $(-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$ Пусть $\sin 2x = t$, где $|t| \le 1$. $3t^2 + 10t + 3 = 0$ $D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$ $t_1 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-10 - 8}{6} = -3$ (не подходит, так как $|-3| > 1$) $\sin 2x = -\frac{1}{3} \Rightarrow 2x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k$ $x = \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. $4t^2 + 11t - 3 = 0$ $D = 121 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$ $t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{1}{4}$ $t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = -3$ (не подходит) $\sin x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin \frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $(-1)^k \arcsin \frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$ Пусть $\sin \frac{x}{2} = t$, где $|t| \le 1$. $2t^2 - 3t + 1 = 0$ $D = 9 - 8 = 1$ $t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \Rightarrow \sin \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\pi + 4\pi n; (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$