Решите уравнение $3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$

1. Задание 018.6. а) $$3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$$ Пусть $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид: $$3y^2 - 5y - 2 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$ $$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Возвращаемся к $\sin x$: а) $\sin x = 2$ — это уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \sin x \le 1$. б) $\sin x = -\frac{1}{3}$ $$x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ или $$x = -\arcsin\left(\frac{1}{3} ight) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{3} ight) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $x = -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, x = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$