Решите тригонометрические уравнения: а) 2 sin²x + 3 cos x = 0; б) 8 sin²2x + cos 2x + 1 = 0; в) 5 cos²x + 6 sin x - 6 = 0; г) 4 sin 3x + cos²3x = 4.

Для решения этих тригонометрических уравнений мы будем использовать основные тождества, такие как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулы двойного угла. **а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$** 1. Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$: $2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$ $2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$ $2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$ 2. Пусть $\cos x = t$, где $|t| \le 1$: $2t^2 - 3t - 2 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ (не подходит, так как $2 > 1$) $t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5$ 3. Обратная замена: $\cos x = -0,5$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$** 1. Заменим $\sin^2 2x$ на $1 - \cos^2 2x$: $8(1 - \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0$ $8 - 8 \cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$ $8 \cos^2 2x - \cos 2x - 9 = 0$ 2. Пусть $\cos 2x = t$, где $|t| \le 1$: $8t^2 - t - 9 = 0$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$ $t_1 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = 1,125$ (не подходит) $t_2 = \frac{1 - 17}{16} = -1$ 3. Обратная замена: $\cos 2x = -1$ $2x = \pi + 2\pi n$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$** 1. Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $5(1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 6 = 0$ $5 - 5 \sin^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$ $5 \sin^2 x - 6 \sin x + 1 = 0$ 2. Пусть $\sin x = t$, $|t| \le 1$: $5t^2 - 6t + 1 = 0$ $D = 36 - 20 = 16$ $t_1 = \frac{6 + 4}{10} = 1$ $t_2 = \frac{6 - 4}{10} = 0,2$ 3. Обратная замена: 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin x = 0,2 \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin 0,2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $(-1)^k \arcsin 0,2 + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$ **г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$** 1. Заменим $\cos^2 3x$ на $1 - \sin^2 3x$: $4 \sin 3x + 1 - \sin^2 3x = 4$ $\sin^2 3x - 4 \sin 3x + 3 = 0$ 2. Пусть $\sin 3x = t$, $|t| \le 1$: $t^2 - 4t + 3 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 3$ (не подходит), $t_2 = 1$ 3. Обратная замена: $\sin 3x = 1$ $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$