Решите уравнение: а) 3 sin² x - 5 sin x - 2 = 0; б) 3 sin² 2x + 10 sin 2x + 3 = 0; в) 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0; г) 2 sin² x/2 - 3 sin x/2 + 1 = 0.

**Ответ:** а) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, x = -\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ в) $x = (-1)^m \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$ г) $x = \pi + 4\pi l, x = (-1)^l \frac{\pi}{3} + 2\pi l, l \in \mathbb{Z}$ **Решение:** Все эти уравнения решаются методом введения новой переменной. Пусть $\sin(f(x)) = t$, где $|t| \le 1$. а) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$ Пусть $\sin x = t$. Тогда $3t^2 - 5t - 2 = 0$. $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 49$ $t_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) $t_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}$ $\sin x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ *Уточнение: в первом варианте ответа была допущена ошибка в вычислении корня. Правильный корень для а):* $$x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$$ б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$ Пусть $\sin 2x = t$. $3t^2 + 10t + 3 = 0$. $D = 100 - 36 = 64$ $t_1 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$ $t_2 = -3$ (не подходит) $\sin 2x = -\frac{1}{3} \Rightarrow 2x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0$ Пусть $\sin x = t$. $4t^2 + 11t - 3 = 0$. $D = 121 + 48 = 169$ $t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{1}{4}$ $t_2 = -3$ (не подходит) $\sin x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = (-1)^m \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$ г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$ Пусть $\sin \frac{x}{2} = t$. $2t^2 - 3t + 1 = 0$. $D = 9 - 8 = 1$ $t_1 = 1, t_2 = \frac{1}{2}$ 1) $\sin \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi l \Rightarrow x = \pi + 4\pi l$ 2) $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = (-1)^l \frac{\pi}{6} + \pi l \Rightarrow x = (-1)^l \frac{\pi}{3} + 2\pi l, l \in \mathbb{Z}$