Решите уравнение $3\sin^2 x + \sin x \cos x = 2\cos^2 x$

а) $3\sin^2 x + \sin x \cos x = 2\cos^2 x$ Перенесем $2\cos^2 x$ в левую часть: $$3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$$ Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (считая, что $\cos x \neq 0$): $$3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$3\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 2 = 0$$ Сделаем замену $\operatorname{tg} x = y$: $$3y^2 + y - 2 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$ $$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ Вернемся к замене: 1. $\operatorname{tg} x = \frac{2}{3}$ $$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 2. $\operatorname{tg} x = -1$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ Теперь проверим случай, когда $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\sin^2 x = 1$. Подставим в исходное уравнение: $$3 \cdot 1 + 0 = 2 \cdot 0$$ $$3 = 0$$ Это неверно, значит $\cos x \neq 0$. **Ответ:** а) $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $2\cos^2 x - 3\sin x \cos x + \sin^2 x = 0$ Разделим обе части на $\cos^2 x$ (считая, что $\cos x \neq 0$): $$2 - 3\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$2 - 3\operatorname{tg} x + \operatorname{tg}^2 x = 0$$ Перепишем в привычном виде: $$\operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 = 0$$ Сделаем замену $\operatorname{tg} x = y$: $$y^2 - 3y + 2 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Вернемся к замене: 1. $\operatorname{tg} x = 2$ $$x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 2. $\operatorname{tg} x = 1$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ Проверка $\cos x = 0$: $2 \cdot 0 - 0 + 1 = 0 \Rightarrow 1 = 0$, что неверно. **Ответ:** б) $x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ в) $9\sin x \cos x - 7\cos^2 x = 2\sin^2 x$ Перенесем $2\sin^2 x$ в левую часть: $$9\sin x \cos x - 7\cos^2 x - 2\sin^2 x = 0$$ Или, чтобы привести к стандартному виду: $$-2\sin^2 x + 9\sin x \cos x - 7\cos^2 x = 0$$ Умножим на $-1$: $$2\sin^2 x - 9\sin x \cos x + 7\cos^2 x = 0$$ Разделим на $\cos^2 x$ (считая, что $\cos x \neq 0$): $$2\operatorname{tg}^2 x - 9\operatorname{tg} x + 7 = 0$$ Сделаем замену $\operatorname{tg} x = y$: $$2y^2 - 9y + 7 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$$ $$y_1 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$$ $$y_2 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ Вернемся к замене: 1. $\operatorname{tg} x = \frac{7}{2}$ $$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{7}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 2. $\operatorname{tg} x = 1$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ Проверка $\cos x = 0$: $0 - 0 = 2 \cdot 1 \Rightarrow 0 = 2$, что неверно. **Ответ:** в) $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{7}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ г) $2\sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x$ Перенесем $\cos^2 x$ в левую часть: $$2\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$$ Разделим на $\cos^2 x$ (считая, что $\cos x \neq 0$): $$2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$2\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 1 = 0$$ Сделаем замену $\operatorname{tg} x = y$: $$2y^2 - y - 1 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Вернемся к замене: 1. $\operatorname{tg} x = 1$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 2. $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2}$ $$x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ Проверка $\cos x = 0$: $2 \cdot 1 - 0 = 0 \Rightarrow 2 = 0$, что неверно. **Ответ:** г) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$