Решите уравнение: а) 3 sin² x - 5 sin x - 2 = 0; б) 3 sin² 2x + 10 sin 2x + 3 = 0; в) 4 sin² x + 11 sin x - 3 = 0; г) 2 sin² x/2 - 3 sin x/2 + 1 = 0.

Привет! Это тригонометрические уравнения, которые решаются методом введения новой переменной. Давай разберем каждое по порядку. **а) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$** Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. $$3t^2 - 5t - 2 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$ $$t_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2 \text{ (не подходит, так как } 2 > 1)$$ $$t_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}$$ Обратная замена: $$\sin x = -\frac{1}{3}$$ **Ответ:** $x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$** Пусть $\sin 2x = t$, где $|t| \le 1$. $$3t^2 + 10t + 3 = 0$$ $$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$ $$t_1 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$t_2 = \frac{-10 - 8}{6} = -3 \text{ (не подходит)}$$ Обратная замена: $$\sin 2x = -\frac{1}{3}$$ $$2x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k$$ **Ответ:** $x = \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ **в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0$** Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. $$4t^2 + 11t - 3 = 0$$ $$D = 121 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$$ $$t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{1}{4}$$ $$t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = -3 \text{ (не подходит)}$$ Обратная замена: $$\sin x = \frac{1}{4}$$ **Ответ:** $x = (-1)^k \arcsin \frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$** Пусть $\sin \frac{x}{2} = t$, где $|t| \le 1$. $$2t^2 - 3t + 1 = 0$$ $$D = 9 - 8 = 1$$ $$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$ 1) $\sin \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 4\pi n$ 2) $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ **Ответ:** $x = \pi + 4\pi n; x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + 2\pi k; n, k \in \mathbb{Z}$