Вычислите интеграл: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2x}$

1. Вычислите интеграл: 1) Применим формулу Ньютона-Лейбница для определённого интеграла: $$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2x} = \left. \text{tg}x \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ Зная значения тангенса для этих углов: $$\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$ $$\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Тогда: $$\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ **Ответ:** $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 2) Для вычисления определённого интеграла $\int_{1}^{3} \left(\frac{1}{x^2} - 3x^2\right)dx$ сначала найдём первообразную каждой функции: $$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$$ $$\int -3x^2 dx = -3 \int x^2 dx = -3 \frac{x^{2+1}}{2+1} = -3 \frac{x^3}{3} = -x^3$$ Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $$\int_{1}^{3} \left(-\frac{1}{x} - x^3\right) \Big|_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3} - 3^3\right) - \left(-\frac{1}{1} - 1^3\right)$$ $$\left(-\frac{1}{3} - 27\right) - (-1 - 1) = -\frac{1}{3} - 27 - (-2) = -\frac{1}{3} - 27 + 2 = -\frac{1}{3} - 25$$ $$\frac{-1 - 75}{3} = -\frac{76}{3}$$ **Ответ:** $-\frac{76}{3}$ 2. Найдите первообразную функции $f(x) = 4x^3 - 4x + 5$, график которой проходит через точку A (1; 6). Первообразная функции $f(x)$ обозначается как $F(x)$. Найдём её: $$F(x) = \int (4x^3 - 4x + 5)dx$$ $$F(x) = 4\frac{x^4}{4} - 4\frac{x^2}{2} + 5x + C$$ $$F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + C$$ Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $A(1; 6)$. Это значит, что при $x=1$, $F(x)=6$: $$6 = 1^4 - 2(1)^2 + 5(1) + C$$ $$6 = 1 - 2 + 5 + C$$ $$6 = 4 + C$$ $$C = 6 - 4$$ $$C = 2$$ Таким образом, искомая первообразная функция: $$F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 2$$ **Ответ:** $F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 2$ 3. Вычислите интеграл: 1) Для вычисления определённого интеграла $\int_{-\pi}^{\pi} \left(4\cos4x + \frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}\right)dx$ найдем первообразную: $$\int 4\cos4x dx = 4 \cdot \frac{1}{4}\sin4x = \sin4x$$ $$\int \frac{1}{3}\sin\frac{x}{3} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}(-\cos\frac{x}{3}) = -\cos\frac{x}{3}$$ Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $$\left. \left(\sin4x - \cos\frac{x}{3}\right) \right|_{-\pi}^{\pi}$$ $$\left(\sin(4\pi) - \cos\frac{\pi}{3}\right) - \left(\sin(-4\pi) - \cos\frac{-\pi}{3}\right)$$ Зная, что $\sin(4\pi) = 0$, $\sin(-4\pi) = 0$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$: $$\left(0 - \frac{1}{2}\right) - \left(0 - \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$$ **Ответ:** $0$ 2) Для вычисления определённого интеграла $\int_{0}^{1} \left(\frac{5}{\sqrt{5x+4}} - x\right)dx$ сначала найдём первообразную каждой функции: $$\int \frac{5}{\sqrt{5x+4}} dx = 5 \int (5x+4)^{-\frac{1}{2}} dx$$ Используем замену $u = 5x+4$, тогда $du = 5dx$, $dx = \frac{1}{5}du$: $$5 \int u^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{5}du = \int u^{-\frac{1}{2}}du = \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{5x+4}$$ $$\int -x dx = -\frac{x^2}{2}$$ Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $$\left. \left(2\sqrt{5x+4} - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{0}^{1}$$ $$\left(2\sqrt{5(1)+4} - \frac{1^2}{2}\right) - \left(2\sqrt{5(0)+4} - \frac{0^2}{2}\right)$$ $$\left(2\sqrt{9} - \frac{1}{2}\right) - \left(2\sqrt{4} - 0\right)$$ $$\left(2 \cdot 3 - \frac{1}{2}\right) - \left(2 \cdot 2\right)$$ $$\left(6 - \frac{1}{2}\right) - 4 = 5.5 - 4 = 1.5$$ **Ответ:** $1.5$ 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 6 - x^2$ и $y = x + 4$. Сначала найдем точки пересечения двух функций, приравняв их: $$6 - x^2 = x + 4$$ $$x^2 + x - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ $$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Теперь определим, какая функция находится выше на интервале $[-2, 1]$. Проверим точку $x=0$: $$y_1 = 6 - 0^2 = 6$$ $$y_2 = 0 + 4 = 4$$ Так как $6 > 4$, функция $y = 6 - x^2$ находится выше, чем $y = x + 4$. Площадь $S$ вычисляется как определённый интеграл разности функций: $$S = \int_{-2}^{1} ((6 - x^2) - (x + 4))dx$$ $$S = \int_{-2}^{1} (6 - x^2 - x - 4)dx$$ $$S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2)dx$$ Теперь вычислим интеграл: $$\left. \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right) \right|_{-2}^{1}$$ Подставим верхний предел ($x=1$): $$-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2 - 3 + 12}{6} = \frac{7}{6}$$ Подставим нижний предел ($x=-2$): $$-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = -\frac{10}{3}$$ Теперь вычтем: $$S = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$$ **Ответ:** $4.5$ 5. Для функции $y = x^2 + 2x$ найдите такую первообразную, что прямая $y = 3x$ является касательной к её графику. **Допущение:** Задание подразумевает, что прямая $y=3x$ является касательной к графику искомой первообразной, а не к графику исходной функции $y=x^2+2x$. Сначала найдём общую форму первообразной функции $f(x) = x^2 + 2x$: $$F(x) = \int (x^2 + 2x)dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + C$$ Прямая $y = 3x$ является касательной к графику $F(x)$. Это значит, что в точке касания $(x_0, y_0)$: 1. Значение функции $F(x_0)$ равно значению касательной $3x_0$. 2. Производная функции $F'(x_0)$ равна угловому коэффициенту касательной, который равен $3$. Мы знаем, что $F'(x) = f(x) = x^2 + 2x$. Значит, $F'(x_0) = x_0^2 + 2x_0 = 3$. Решим это квадратное уравнение для $x_0$: $$x_0^2 + 2x_0 - 3 = 0$$ $$D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_0 = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ $$x_{0_1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$ $$x_{0_2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ Теперь проверим оба значения $x_0$: Случай 1: $x_0 = -3$ Точка касания на касательной: $y_0 = 3x_0 = 3(-3) = -9$. Значит, $F(-3)$ должно быть равно $-9$: $$F(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 + C = -9$$ $$\frac{-27}{3} + 9 + C = -9$$ $$-9 + 9 + C = -9$$ $$C = -9$$ Тогда первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 9$. Случай 2: $x_0 = 1$ Точка касания на касательной: $y_0 = 3x_0 = 3(1) = 3$. Значит, $F(1)$ должно быть равно $3$: $$F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 + C = 3$$ $$\frac{1}{3} + 1 + C = 3$$ $$\frac{4}{3} + C = 3$$ $$C = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9 - 4}{3} = \frac{5}{3}$$ Тогда первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + \frac{5}{3}$. В задании сказано "такую первообразную", что подразумевает единственное решение. Если касательная $y=3x$ должна быть касательной к $F(x)$, то должны существовать точки касания. В данном случае мы получили два возможных значения $x_0$. Так как других условий нет, то оба варианта являются корректными. **Ответ:** Есть две такие первообразные: $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 9$ или $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + \frac{5}{3}$ 6. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = e$ и $x = e^4$. Объём тела вращения вокруг оси абсцисс вычисляется по формуле: $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$$ В нашем случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, пределы интегрирования от $x=e$ до $x=e^4$. $$V = \pi \int_{e}^{e^4} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx$$ $$V = \pi \int_{e}^{e^4} \frac{1}{x} dx$$ Первообразная для $\frac{1}{x}$ это $\ln|x|$. Поскольку пределы интегрирования положительны, можно использовать $\ln x$: $$V = \pi \left. [\ln x] \right|_{e}^{e^4}$$ Применим формулу Ньютона-Лейбница: $$V = \pi (\ln(e^4) - \ln(e))$$ Зная, что $\ln(e^k) = k \ln(e) = k \cdot 1 = k$: $$V = \pi (4 - 1)$$ $$V = 3\pi$$ **Ответ:** $3\pi$ 7. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \sqrt{5 - x^2}dx$. Геометрический смысл определённого интеграла - это площадь фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{5 - x^2}$. Возведём обе части в квадрат: $y^2 = 5 - x^2$. Перенесём $x^2$: $x^2 + y^2 = 5$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$. Так как в исходной функции $y = \sqrt{5 - x^2}$, то $y \ge 0$, это означает, что мы рассматриваем верхнюю половину окружности. Интеграл $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \sqrt{5 - x^2}dx$ представляет собой площадь полукруга от $-\sqrt{5}$ до $\sqrt{5}$. Площадь полного круга равна $A = \pi R^2$. Площадь полукруга будет $A_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi R^2$. В нашем случае $R = \sqrt{5}$, так что $R^2 = 5$. $$A_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi (5) = \frac{5\pi}{2}$$ **Ответ:** $\frac{5\pi}{2}$