Докажите, что F(x) = x³ - 2sin x является первообразной для f(x) = 3x² - 2cos x.

**1. Доказательство:** Функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. $F'(x) = (x^3 - 2\sin x)' = (x^3)' - (2\sin x)' = 3x^2 - 2\cos x$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. **2. Нахождение интеграла:** $\int (\frac{3}{x^2} + 5\cos x) dx = \int 3x^{-2} dx + \int 5\cos x dx = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 5\sin x + C = -\frac{3}{x} + 5\sin x + C$. **Ответ:** $-\frac{3}{x} + 5\sin x + C$ **3. Вычисление интегралов:** а) $\int_{0,25}^{2,25} \frac{dx}{\sqrt{x}} = [2\sqrt{x}]_{0,25}^{2,25} = 2\sqrt{2,25} - 2\sqrt{0,25} = 2 \cdot 1,5 - 2 \cdot 0,5 = 3 - 1 = 2$. б) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x dx = [-\frac{1}{2}\cos 2x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2}(\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \cos 0) = -\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{2} - \cos 0) = -\frac{1}{2}(0 - 1) = 0,5$. **Ответ:** а) 2; б) 0,5. **4. Вычисление площади:** $S = \int_{0}^{1} (2 - x^3) dx = [2x - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = (2 \cdot 1 - \frac{1^4}{4}) - 0 = 2 - 0,25 = 1,75$. **Ответ:** 1,75. **5. Вычисление площади:** 1) Найдем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ при $x_0 = 2$: $f(2) = 1,5 \cdot 2^2 + 3 = 1,5 \cdot 4 + 3 = 9$. $f'(x) = (1,5x^2 + 3)' = 3x$. $f'(2) = 3 \cdot 2 = 6$. $y_{кас} = 9 + 6(x - 2) = 9 + 6x - 12 = 6x - 3$. 2) Площадь ограничена сверху параболой $y = 1,5x^2 + 3$, снизу касательной $y = 6x - 3$, слева прямой $x = 0$, справа точкой касания $x = 2$. $S = \int_{0}^{2} (1,5x^2 + 3 - (6x - 3)) dx = \int_{0}^{2} (1,5x^2 - 6x + 6) dx = [\frac{1,5x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 6x]_{0}^{2} = [0,5x^3 - 3x^2 + 6x]_{0}^{2} = (0,5 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 6 \cdot 2) - 0 = 4 - 12 + 12 = 4$. **Ответ:** 4. **6. Решение задачи с первообразной:** 1) Найдем общее выражение первообразной $F(x)$: $F(x) = \int (12\cos 4x + \frac{8}{\pi} - \frac{1}{\sin^2 x}) dx = \frac{12}{4}\sin 4x + \frac{8}{\pi}x - (-\text{ctg } x) + C = 3\sin 4x + \frac{8x}{\pi} + \text{ctg } x + C$. 2) Найдем $C$ через точку $(\frac{\pi}{4}; 0)$: $F(\frac{\pi}{4}) = 3\sin(\pi) + \frac{8}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} + \text{ctg } \frac{\pi}{4} + C = 0 + 2 + 1 + C = 3 + C = 0 \Rightarrow C = -3$. $F(x) = 3\sin 4x + \frac{8x}{\pi} + \text{ctg } x - 3$. 3) Найдем значение в точке $x = \frac{\pi}{2}$: $F(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(2\pi) + \frac{8}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} + \text{ctg } \frac{\pi}{2} - 3 = 0 + 4 + 0 - 3 = 1$. **Ответ:** 1.