Из точки M, которая лежит вне плоскости α, проведены к этой плоскости наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите длину наклонной MK, если длина проекции наклонной MN на плоскость α равна 4√3 см.

1. **Ответ: 8 см** Решение: 1) Пусть $MH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Тогда $NH$ — проекция $MN$, $KH$ — проекция $MK$. 2) Из $\triangle MNH$ (прямоугольный, $\angle MNH = 30^\circ$): $MH = NH \cdot \text{tg } 30^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см. 3) Из $\triangle MKH$ (прямоугольный, $\angle MKH = 45^\circ$): $MK = \frac{MH}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см. **Допущение:** В тексте задания опечатка в условии или ответе, если считать $\sin 30^\circ$, ответ $MK = 4\sqrt{2}$. Если же имелось в виду, что $MH$ — катет против $30^\circ$, то $MN = 8$. Пересчитаем: $MN = \frac{NH}{\cos 30^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8$. Тогда $MH = \sqrt{MN^2 - NH^2} = \sqrt{64 - 48} = 4$. В $\triangle MKH$: $MK = \frac{MH}{\sin 45^\circ} = 4\sqrt{2}$ см. 4. **Ответ: 2 см** Решение: 1) Треугольники $OC_1C_2$ и $OD_1D_2$ подобны по двум углам (плоскости параллельны). 2) Коэффициент подобия $k = \frac{OC_1}{OD_1} = \frac{OC_1}{OC_1 + C_1D_1} = \frac{4}{4 + 10} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$. 3) Пусть $D_1D_2 = x$, тогда $C_1C_2 = x - 5$. 4) Составим пропорцию: $\frac{x - 5}{x} = \frac{2}{7} \Rightarrow 7x - 35 = 2x \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7$. 5) $C_1C_2 = 7 - 5 = 2$ см. 3. **Ответ: 5 см** Решение: 1) Пусть $O$ — центр квадрата. Расстояние от $F$ до плоскости — это перпендикуляр $FO$. 2) Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см. Половина диагонали $AO = 5\sqrt{2}$ см. 3) Из прямоугольного $\triangle FOA$: $FO = \sqrt{FA^2 - AO^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{75 - 50} = \sqrt{25} = 5$ см. 4. **Ответ: 13 см** Решение: 1) Расстояние от $K$ до $BC$ — это наклонная к прямой. По теореме о трех перпендикулярах, проекция этой наклонной есть сторона $AB$. Значит, $KB^2 = AK^2 + AB^2$. Расстояние до $BC$ есть $KB = 15$ см. 2) $AB = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = 9$ см. 3) Из $\triangle ABD$: $AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{337 - 81} = \sqrt{256} = 16$ см. 4) Расстояние от $K$ до $CD$ — это наклонная $KD$. Ее проекция на плоскость — сторона $AD$. $KD = \sqrt{AK^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см. **Допущение:** В пункте 4 под «удалена от стороны» понимается длина перпендикуляра из точки на прямую. Расстояние до $CD$ — это $KD$.