Задачи на НОД/НОК: 1.Можно ли монетами 14 и 35 шиллингов заплатить без сдачи сумму в 1999 шиллингов?

Задачи на НОД/НОК: 1. НОД(14, 35) = 7. Чтобы сумма 1999 была представима как 14x + 35y, она должна делиться на 7. 1999 не делится на 7 (1999 = 285 * 7 + 4). Ответ: Нет, нельзя. 2. Возможные суммы: 120x - 300y = K. НОД(120, 300) = 60. Значит, любая доступная сумма должна делиться на 60. Число 1000 на 60 не делится (1000 = 16 * 60 + 40). Ближайшее к 1000 число, которое делится на 60 и меньше его — это 960. Ответ: 960 рублей. 3. 15a = 14c. Так как 15 и 14 взаимно просты, то a должно быть кратно 14, а c — кратно 15. Пусть a = 14k, c = 15k. НОД(14k, 15k) = k * НОД(14, 15) = k. По условию k = 13. Значит, a = 14 * 13 = 182, c = 15 * 13 = 195. Ответ: a = 182, c = 195. 4. Попарные НОД чисел позволяют получить разные значения. Максимально возможный НОД для 6 чисел — это число, делящее хотя бы два из них. Чтобы получить все числа от 1 до 15, нам нужно много пар, а чисел всего 6. Для 6 чисел количество пар равно 6 * 5 / 2 = 15. Это возможно, если подобрать числа так, чтобы их попарные НОД были уникальны. Например, набор из простых чисел и их произведений. Да, это возможно. Задачи на дроби: 1. Пусть наследство равно X. Если родится сын: сын 2/3, жена 1/3. Если родится дочь: дочь 1/3, жена 2/3. При рождении двойни нужно уравнять условия. Жена должна получить и долю за сына (1/3), и долю за дочь (2/3). 1/3 + 2/3 = 1. Значит, всё наследство уходит жене? Нет, обычно делят пропорционально. Если сын получает 2/3, а дочь 1/3 от части наследства, то при рождении обоих они забирают всё. Ответ: Жена получает 0, сын 2/3, дочь 1/3. 2. Пусть x — лет жил Диофант. x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x. Приведем к общему знаменателю (84): 14x + 7x + 12x + 42x + 756 = 84x. 75x + 756 = 84x. 9x = 756. x = 84. Ответ: 84 года. 3. Пусть S = 60. З+М=2/3*60=40; З+Ол=3/4*60=45; З+Ж=3/5*60=36. Сложим: 3З+М+Ол+Ж=121. (З+М+Ол+Ж)+2З=121. 60+2З=121. 2З=61, З=30.5. Тогда М=40-30.5=9.5, Ол=45-30.5=14.5, Ж=36-30.5=5.5. Ответ: Золото 30.5, медь 9.5, олово 14.5, железо 5.5. Задачи на проценты: 1. Сухая масса арбуза была 20 * 0.01 = 0.2 кг. Она не изменилась. Теперь 0.2 кг — это 2% (100%-98%) от новой массы. Новая масса = 0.2 / 0.02 = 10 кг. Ответ: 10 кг. 2. Старое время: 6 * 45 = 270 мин. Новое время: 5 * 40 = 200 мин. Потеря = 70 мин. В процентах: 70 / 270 * 100% ≈ 25.9%. Ответ: 25.9%. 3. Пусть цена Ц. Продал за 0.95*Ц. Это 1.14 от себестоимости (С). 1.14С = 0.95Ц -> С = 0.95/1.14 * Ц ≈ 0.833Ц. Прибыль = (Ц - С) / С = (Ц - 0.833Ц) / 0.833Ц ≈ 0.2 или 20%. Ответ: 20%. 4. Пусть цена Ц, себестоимость С. Продал за 0.7Ц. Получил убыток 16%, значит, выручил 0.84С. 0.84С = 0.7Ц -> С = 0.7/0.84 * Ц = 5/6 * Ц. Планируемая прибыль (Ц - С) / С = (Ц - 5/6*Ц) / (5/6*Ц) = (1/6) / (5/6) = 1/5 = 20%. Ответ: 20%. 5. Было: V * P. Стало: 0.9V * 1.1P = 0.99VP. Сумма уменьшилась на 1%. Ответ: На 1% меньше.