1. Через сторону AD, равную 20 см, квадрата ABCD проведена плоскость α так, что точка С находится от неё на расстоянии 10 см.

1. Рассмотрим квадрат $ABCD$ со стороной $a = 20$ см. Плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AD$. Расстояние от точки $C$ до $\alpha$ равно $10$ см ($CH = 10$). а) Точка пересечения диагоналей $O$ является серединой отрезка $AC$. По теореме о средней линии трапеции (или из подобия треугольников), расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$ равно половине расстояния от $C$ до этой плоскости: $d = \frac{1}{2} CH = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. б) Синус угла $\phi$ между диагональю $AC$ и плоскостью $\alpha$ равен отношению расстояния от точки $C$ до плоскости к длине диагонали $AC$. $AC = a\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см. $\sin \phi = \frac{CH}{AC} = \frac{10}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. $\phi = \arcsin \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$. **Ответ: а) 5 см; б) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}$.** 2. Пусть $KLP$ — правильный треугольник со стороной $a = 4$ см. $O$ — его центр. Расстояние от центра $O$ до стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см. Отрезок $OM = 2$ см перпендикулярен плоскости. Искомое расстояние $MT$ — гипотенуза в прямоугольном треугольнике $MOT$ (где $T$ — точка на стороне). $MT = \sqrt{OM^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{12}{9}} = \sqrt{4 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. **Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.** 3. Пусть угол между плоскостями равен $\beta$. Площадь проекции $S_{пр}$ связана с площадью фигуры $S$ формулой: $S_{пр} = S \cdot \cos \beta$. Так как проекцией прямоугольника $ABCD$ является квадрат $A_1BCD_1$, то сторона $BC$ общая и не меняется (лежит на линии пересечения или параллельна ей), а сторона $AB$ проецируется в $A_1B$. По условию $AB : BC = 2 : 1$, пусть $BC = x$, тогда $AB = 2x$. Так как проекция — квадрат, то $A_1B = BC = x$. Из прямоугольного треугольника имеем: $\cos \beta = \frac{A_1B}{AB} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$. $\beta = 60^\circ$. **Ответ: $60^\circ$.** 4. Треугольники $ABC$ и $ACD$ — равные равнобедренные прямоугольные с общей гипотенузой $AC$. Пусть $AB = BC = 3$ см, тогда $AC = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ см. Пусть $H$ — середина $AC$. Так как треугольники равнобедренные, медианы $BH$ и $DH$ являются высотами. $BH = DH = \frac{1}{2} AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см. Так как плоскости перпендикулярны, $BH \perp DH$. Расстояние $BD$ находим по теореме Пифагора из $\triangle BHD$: $BD = \sqrt{BH^2 + DH^2} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{18}{4} + \frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3$ см. **Ответ: 3 см.**