1. Из точки О пересечения диагоналей квадрата ABCD проведён перпендикуляр ОН к плоскости квадрата. Докажите, что BD ⊥ HC.

1. **Доказательство:** По свойству квадрата $ABCD$ его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как $O$ — точка пересечения диагоналей, то $O \in AC$, значит, $CO \perp BD$. Отрезок $OH$ перпендикулярен плоскости квадрата ($OH \perp ABC$), следовательно, $OH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $BD$, то есть $OH \perp BD$. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CO$ и $OH$ плоскости $HOC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BD \perp (HOC)$. Так как прямая $HC$ лежит в плоскости $HOC$, то $BD \perp HC$. 2. **Решение:** Пусть плоскость $\alpha$ проходит через сторону $KN$. Обозначим $M'$ и $L'$ — проекции точек $M$ и $L$ на плоскость $\alpha$. Так как $KLMN$ — прямоугольник, $LM \perp KN$ и $KL \parallel NM$. Длина проекции одной из сторон на плоскость дана. Сторона $KN$ лежит в плоскости, её проекция равна самой стороне ($12$ или $3$). Значит, речь о стороне, не лежащей в плоскости. Пусть это сторона $LM$ (или $KN$ перпендикулярна $KL$, тогда проекция $KL$ может быть дана). Если проекция $LM$ равна $4$ см, это невозможно, так как проекция не может быть больше самой наклонной ($LM = 3$). Значит, дана проекция стороны $KL$ (или $NM$), и $KL' = 4$ см. В прямоугольном треугольнике $KMM'$ проекция диагонали $KM'$ находится по теореме Пифагора. $M'L'$ — это проекция $ML$. Так как $ML \parallel KN$, а $KN \subset \alpha$, то $ML \parallel \alpha$, и его проекция $M'L' = ML = 3$ см. Также $KL' \perp L'M'$. В прямоугольном $\triangle KL'M'$: $KM' = \sqrt{KL'^2 + L'M'^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ см. **Ответ: 5 см**. 3. **Решение:** Пусть $AB$ и $AC$ — наклонные, $AB = AC = 2$ см. $AO$ — перпендикуляр к плоскости (искомое расстояние $h$). $OB$ и $OC$ — проекции наклонных. По условию $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BOC = 90^{\circ}$. В $\triangle ABC$ (равнобедренный с углом $60^{\circ}$ — равносторонний): $BC = AB = AC = 2$ см. Пусть $AO = h$. Из прямоугольных треугольников $AOB$ и $AOC$: $OB^2 = OC^2 = 2^2 - h^2 = 4 - h^2$. В прямоугольном $\triangle BOC$ по теореме Пифагора: $BC^2 = OB^2 + OC^2$. $2^2 = (4 - h^2) + (4 - h^2) \Rightarrow 4 = 8 - 2h^2 \Rightarrow 2h^2 = 4 \Rightarrow h^2 = 2 \Rightarrow h = \sqrt{2}$ см. **Ответ: \sqrt{2} см**.