Решение задач по теме «Перпендикулярность в пространстве»

1. **Ответ: 12 см** Пусть расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ (перпендикуляр) равно $h$, а проекции наклонных $AB$ и $AC$ равны $x_1$ и $x_2$ соответственно. По условию $x_1 : x_2 = 16 : 9$, тогда $x_1 = 16k$ и $x_2 = 9k$. По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников: $h^2 = AB^2 - x_1^2 = 20^2 - (16k)^2 = 400 - 256k^2$ $h^2 = AC^2 - x_2^2 = 15^2 - (9k)^2 = 225 - 81k^2$ Приравняем выражения: $400 - 256k^2 = 225 - 81k^2$ $175 = 175k^2$ $k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$ $h^2 = 225 - 81(1)^2 = 144$ $h = \sqrt{144} = 12$ (см). 2. **Ответ: 8 см** Расстояние между параллельными плоскостями — это длина перпендикуляра между ними ($h = 4\sqrt{2}$ см). Отрезок $AB$, концы которого лежат в этих плоскостях, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где один из катетов — перпендикуляр $h$, а угол между $AB$ и его проекцией равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике: $\sin(45^\circ) = \frac{h}{AB}$ $AB = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8$ (см). 3. **Ответ: 10 см** 1) Найдем сторону квадрата $ABCD$: $a = \sqrt{S} = \sqrt{36} = 6$ см. 2) Найдем диагональ квадрата $AC$ по формуле $d = a\sqrt{2}$: $AC = 6\sqrt{2}$ см. 3) Так как $KA \perp (ABCD)$, то $KA \perp AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KAC$ (угол $A = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $KC^2 = KA^2 + AC^2$ $KC^2 = (2\sqrt{7})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 7 + 36 \cdot 2 = 28 + 72 = 100$ $KC = \sqrt{100} = 10$ (см).