1. Через сторону AD, равную 20 см, квадрата ABCD проведена плоскость ̑ так, что точка C находится от неё на расстоянии 10 см.

1. **Дано**: $ABCD$ — квадрат, $AD = 20$ см, $\alpha$ проходит через $AD$. Расстояние от $C$ до $\alpha$ ($CH$) равно $10$ см. а) Точка пересечения диагоналей $O$ является серединой отрезка $AC$. По теореме о средней линии трапеции (или подобии треугольников), расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$ равно половине расстояния от $C$ до плоскости: $d = \frac{1}{2} CH = \frac{10}{2} = 5$ см. б) Диагональ $AC = AD \sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см. Пусть $\varphi$ — угол между $AC$ и $\alpha$. $\sin \varphi = \frac{CH}{AC} = \frac{10}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. $\varphi = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}$. **Ответ**: а) 5 см; б) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}$. 2. **Дано**: $\triangle KLP$ правильный, $a = 4$ см, $OM \perp (KLP)$, $OM = 2$ см. $O$ — центр треугольника. Расстояние от центра $O$ до стороны правильного треугольника (радиус вписанной окружности): $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см. Искомое расстояние $MH$ (по теореме Пифагора из $\triangle MOH$): $MH = \sqrt{OM^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 + \frac{12}{9}} = \sqrt{4 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. **Ответ**: $\frac{4√3}{3}$ см. 3. **Дано**: $ABCD$ — прямоугольник, $A_1BCD_1$ — его проекция (сторона $BC$ общая, лежит на $\gamma$). $AB : BC = 2 : 1$. Пусть $BC = x$, тогда $AB = 2x$. Угол $\alpha$ между плоскостями — это угол между $AB$ и его проекцией $A_1B$. Так как проекция является квадратом ($A_1BCD_1$), то $A_1B = BC = x$. $\cos \alpha = \frac{A_1B}{AB} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$. $\alpha = 60^\circ$. **Ответ**: 60°. 4. **Дано**: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$ — равные равнобедренные прямоугольные треугольники. Общая гипотенуза $AC$. $(ABC) \perp (ACD)$, $AB = 3$ см. Так как треугольники равнобедренные прямоугольные с гипотенузой $AC$, то $AB=BC=3$ и $AD=CD=3$. $AC = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$. Пусть $H$ — середина $AC$. В равнобедренных треугольниках медианы $BH$ и $DH$ являются высотами. $BH = DH = \frac{1}{2} AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (свойство медианы из прямого угла). Так как плоскости перпендикулярны, то $BH \perp DH$. Расстояние $BD$ по теореме Пифагора из $\triangle BHD$: $BD = \sqrt{BH^2 + DH^2} = \sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{18}{4} + \frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3$ см. **Ответ**: 3 см.