Контрольная работа № 4 по теме «Векторы». Вариант 1. Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов AB и AC; 2) модули векторов AB и AC...

**1. Даны точки $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$ и $C(-1; 0)$.** 1) Координаты векторов: $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$ 2) Модули векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ 3) Координаты вектора $\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$: $2\vec{AB} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-3)) = (8; -6)$ $3\vec{AC} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)$ $\vec{MK} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)$ 4) Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$ 5) Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ **2. Построение векторов (правила треугольника и параллелограмма):** 1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (по правилу треугольника: конец первого вектора совпадает с началом второго). 2) $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$ (разность векторов с общим началом). 3) $\vec{CA} + \vec{CB}$ — строится по правилу параллелограмма от точки $C$. **3. Даны $\vec{m}\{4; 14\}$ и $\vec{n}\{-7; k\}$.** 1) Коллинеарны, если координаты пропорциональны: $\frac{4}{-7} = \frac{14}{k} \Rightarrow 4k = -98 \Rightarrow k = -24,5$ 2) Перпендикулярны, если скалярное произведение равно 0: $4 \cdot (-7) + 14 \cdot k = 0$ $-28 + 14k = 0 \Rightarrow 14k = 28 \Rightarrow k = 2$ **4. Средняя линия трапеции.** **Ответ: 12 см** Решение: $L = \frac{a + b}{2} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см. **5. а) Скалярное произведение $\vec{m}$ и $\vec{n}$.** **Ответ: $-15 \cdot \cos 35^\circ$ (или $\approx -12,29$)** Решение: $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos 145^\circ = 5 \cdot 3 \cdot \cos 145^\circ = 15 \cdot (-\cos 35^\circ) = -15 \cos 35^\circ$ **б) Угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$.** **Ответ: $30^\circ$** Решение: $\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{7\sqrt{3}}{2 \cdot 7} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \phi = 30^\circ$