Контрольная работа № 4. Тема: Векторы. Даны точки A(-2; 3), B(1; -1), C(2; 4). Найдите координаты и модули векторов, скалярное произведение и косинус угла.

**1.** 1) Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала: $\vec{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$ $\vec{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$ 2) Модуль вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ 3) $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA} = 3(3; -4) - 2(-4; -1) = (9; -12) - (-8; -2) = (9 + 8; -12 + 2) = (17; -10)$ 4) Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$: $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$ 5) $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{-8}{5\sqrt{17}}$ **2.** 1) $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$ (правило треугольника: конец первого вектора совпадает с началом второго). 2) $\vec{BC} - \vec{BA} = \vec{AC}$ (правило вычитания: векторы отложены от одной точки, результат направлен от вычитаемого к уменьшаемому). 3) $\vec{AB} + \vec{AC}$ строится по правилу параллелограмма: это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. **3.** 1) Условие коллинеарности: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \Rightarrow \frac{2}{-3} = \frac{6}{k} \Rightarrow 2k = -18 \Rightarrow k = -9$ 2) Условие перпендикулярности: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow 2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0 \Rightarrow -6 + 6k = 0 \Rightarrow k = 1$ **4.** По условию $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, значит $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Точка $F$ на $AB$ делится $1:4$, значит $\vec{BF} = \frac{4}{5}\vec{BA} = -\frac{4}{5}\vec{a}$. Точка $E$ на $BC$ делится $1:3$, значит $\vec{BE} = \frac{1}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{b}$. По правилу треугольника: $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\vec{BE} + \vec{BF} = -\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a}$. **5.** $|\vec{a}|^2 = (\vec{n} + 2\vec{m})^2 = \vec{n}^2 + 4\vec{n}\vec{m} + 4\vec{m}^2$. Так как $\vec{m} \perp \vec{n}$, то $\vec{n}\vec{m}=0$. При $|\vec{m}|=|\vec{n}|=1$ получаем $|\vec{a}|^2 = 1 + 0 + 4 = 5 \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{5}$. $|\vec{b}|^2 = (3\vec{n} - \vec{m})^2 = 9\vec{n}^2 - 6\vec{n}\vec{m} + \vec{m}^2 = 9 - 0 + 1 = 10 \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{10}$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{n} + 2\vec{m})(3\vec{n} - \vec{m}) = 3\vec{n}^2 - \vec{n}\vec{m} + 6\vec{m}\vec{n} - 2\vec{m}^2 = 3(1) + 0 - 2(1) = 1$. $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.