Даны точки A (-3; 1), B (1; -2) и C (-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов AB и AC; 2) модули векторов AB и AC; 3) координаты вектора MK = 2AB - 3AC; 4) скалярное произведение векторов AB и AC; 5) косинус угла между векторами AB и AC.

Вариант 1 **Задание 1** Даны точки $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$, $C(-1; 0)$. 1) Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала: $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$ 2) Модуль вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ 3) $\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC} = 2(4; -3) - 3(2; -1) = (8; -6) - (6; -3) = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)$ 4) Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$ 5) Косинус угла $\alpha$ между векторами: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ **Задание 2** Для построения используйте правила треугольника и параллелограмма: 1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (по правилу треугольника: начало второго вектора совпадает с концом первого). 2) $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$ (разность векторов с общим началом). 3) $\vec{CA} + \vec{CB}$ — строится по правилу параллелограмма от точки $C$. **Задание 3** $\vec{m}(4; 14)$ и $\vec{n}(-7; k)$. 1) Условие коллинеарности: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \Rightarrow \frac{4}{-7} = \frac{14}{k} \Rightarrow 4k = -98 \Rightarrow k = -24,5$. 2) Условие перпендикулярности: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 4 \cdot (-7) + 14 \cdot k = 0 \Rightarrow -28 + 14k = 0 \Rightarrow 14k = 28 \Rightarrow k = 2$. **Задание 4** В параллелограмме $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. $BM : MC = 2 : 5 \Rightarrow \vec{BM} = \frac{2}{7}\vec{BC} = \frac{2}{7}\vec{AD} = \frac{2}{7}\vec{b}$. $CP : PD = 3 : 1 \Rightarrow \vec{DP} = \frac{1}{4}\vec{DC} = \frac{1}{4}\vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{a}$. Выразим $\vec{MP}$ через ломаную $M-B-A-D-P$: $\vec{MP} = \vec{MB} + \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DP} = -\frac{2}{7}\vec{b} - \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{4}\vec{a} = (\frac{1}{4} - 1)\vec{a} + (1 - \frac{2}{7})\vec{b} = -0,75\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{b}$. **Задание 5** Дано: $\vec{m} \perp \vec{p} \Rightarrow \vec{m} \cdot \vec{p} = 0$; $|\vec{m}| = |\vec{p}| = 1$. Найдём скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4\vec{m} - \vec{p})(\vec{m} + 2\vec{p}) = 4\vec{m}^2 + 8(\vec{m} \cdot \vec{p}) - (\vec{p} \cdot \vec{m}) - 2\vec{p}^2 = 4 \cdot 1^2 + 0 - 0 - 2 \cdot 1^2 = 2$. Найдём длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{(4\vec{m} - \vec{p})^2} = \sqrt{16\vec{m}^2 - 8(\vec{m} \cdot \vec{p}) + \vec{p}^2} = \sqrt{16 \cdot 1 - 0 + 1} = \sqrt{17}$. $|\vec{b}| = \sqrt{(\vec{m} + 2\vec{p})^2} = \sqrt{\vec{m}^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{p}) + 4\vec{p}^2} = \sqrt{1 + 0 + 4 \cdot 1} = \sqrt{5}$. $\cos \angle(\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}}$.