Вариант 2. Контрольная работа № 4 по теме: «Векторы». 1. Даны точки A(2;-1), C(3;2) и D(-3;1). Найдите: а) координаты векторов AC и AD...

**1. Решение задачи с векторами:** Дано: $A(2; -1)$, $C(3; 2)$, $D(-3; 1)$. а) Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала: $$\vec{AC} = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)$$ $$\vec{AD} = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)$$ б) Модуль (длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$: $$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$ $$|\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$$ в) Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ равно $x_1 x_2 + y_1 y_2$: $$\vec{AC} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1$$ г) Косинус угла $\alpha$ между векторами вычисляется по формуле $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$: $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}$$ **2. Решение задачи про трапецию:** Пусть меньшее основание равно $x$ см. Тогда большее основание равно $2x$ см. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Составим уравнение: $$\frac{x + 2x}{2} = 9$$ $$\frac{3x}{2} = 9$$ $$3x = 18$$ $$x = 6$$ Меньшее основание $x = 6$ см. Большее основание $2x = 2 \cdot 6 = 12$ см. **Ответ: 6 см и 12 см.**