Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: координаты векторов, модули векторов, координаты вектора MK = 2AB - 3AC, скалярное произведение векторов, косинус угла между векторами.

Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной по теме «Векторы». **Задание 1** Даны точки $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$, $C(-1; 0)$. 1) Координаты векторов: $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$ **Ответ: $\vec{AB}(4; -3)$, $\vec{AC}(2; -1)$** 2) Модули векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ **Ответ: $|\vec{AB}|=5$, $|\vec{AC}|=\sqrt{5}$** 3) Координаты вектора $\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$: $2\vec{AB} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-3)) = (8; -6)$ $3\vec{AC} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)$ $\vec{MK} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)$ **Ответ: $\vec{MK}(2; -3)$** 4) Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$ **Ответ: 11** 5) Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ **Ответ: $\frac{11\sqrt{5}}{25}$** **Задание 2** По правилам сложения и вычитания векторов: 1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (правило треугольника) 2) $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$ (правило вычитания) 3) $\vec{CA} + \vec{CB}$ — строится по правилу параллелограмма от точки $C$. **Задание 3** Даны $\vec{m}(4; 14)$ и $\vec{n}(-7; k)$. 1) Коллинеарны, если координаты пропорциональны: $\frac{4}{-7} = \frac{14}{k} \Rightarrow 4k = -98 \Rightarrow k = -24,5$. 2) Перпендикулярны, если скалярное произведение равно 0: $4 \cdot (-7) + 14 \cdot k = 0 \Rightarrow -28 + 14k = 0 \Rightarrow 14k = 28 \Rightarrow k = 2$. **Ответ: 1) $k = -24,5$; 2) $k = 2$** **Задание 4** $ABCD$ — параллелограмм. $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. $M \in BC, BM:MC = 2:5 \Rightarrow \vec{BM} = \frac{2}{7}\vec{BC} = \frac{2}{7}\vec{b}$. $P \in CD, CP:PD = 3:1 \Rightarrow \vec{CP} = \frac{3}{4}\vec{CD} = \frac{3}{4}(-\vec{a})$. $\vec{MP} = \vec{MC} + \vec{CP} = \frac{5}{7}\vec{b} - \frac{3}{4}\vec{a}$. **Ответ: $\vec{MP} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{b}$** **Задание 5** $\vec{a} = 4\vec{m} - \vec{p}$, $\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{p}$, $|\vec{m}| = |\vec{p}| = 1$. Угол между $\vec{m}$ и $\vec{p}$ не задан, обычно в таких задачах они считаются перпендикулярными, но в тексте это пропущено. **Допущение: векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ перпендикулярны ($\vec{m} \cdot \vec{p} = 0$).** 1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4\vec{m} - \vec{p})(\vec{m} + 2\vec{p}) = 4\vec{m}^2 + 8\vec{m}\vec{p} - \vec{p}\vec{m} - 2\vec{p}^2 = 4(1)^2 + 0 - 0 - 2(1)^2 = 2$. 2) $|\vec{a}| = \sqrt{(4\vec{m}-\vec{p})^2} = \sqrt{16\vec{m}^2 - 8\vec{m}\vec{p} + \vec{p}^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$. 3) $|\vec{b}| = \sqrt{(\vec{m}+2\vec{p})^2} = \sqrt{\vec{m}^2 + 4\vec{m}\vec{p} + 4\vec{p}^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. $\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}} = \frac{2\sqrt{85}}{85}$. **Ответ: $\frac{2\sqrt{85}}{85}$**