Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов AB и AC; 2) длины векторов AB и AC...

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по векторам. Вот пошаговое решение для первого варианта. ### Задание 1 Даны точки $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$ и $C(-1; 0)$. **1) Координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:** Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$ **Ответ:** $\vec{AB}(4; -3)$, $\vec{AC}(2; -1)$ **2) Длины векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:** Длина вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ **Ответ:** $|\vec{AB}| = 5$, $|\vec{AC}| = \sqrt{5}$ **3) Координаты вектора $\vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$:** $\vec{MK} = 2 \cdot (4; -3) - 3 \cdot (2; -1) = (8; -6) - (6; -3) = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)$ **Ответ:** $\vec{MK}(2; -3)$ **4) Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:** Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$ **Ответ:** 11 **5) Косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:** Формула: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$. $\cos \alpha = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ **Ответ:** $\frac{11\sqrt{5}}{25}$ ### Задание 2 Для построения используй правила сложения векторов: 1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (по правилу треугольника); 2) $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$ (разность векторов с общим началом); 3) $\vec{CA} + \vec{CB}$: построй параллелограмм на этих векторах, сумма — диагональ, выходящая из точки $C$. ### Задание 3 Векторы $\vec{m}(4; 14)$ и $\vec{n}(-7; k)$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{4}{-7} = \frac{14}{k}$ $4k = -7 \cdot 14$ $4k = -98$ $k = -24,5$ **Ответ: $k = -24,5$** ### Задание 4 В параллелограмме $ABCD$ точка $O$ — пересечение диагоналей. $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. 1) $\vec{BO} = \frac{1}{2} \vec{BD}$. Так как $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, то $\vec{BO} = 0,5(\vec{b} - \vec{a})$. 2) $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$ (по правилу параллелограмма), то $\vec{CA} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$. **Ответ:** $\vec{BO} = 0,5\vec{b} - 0,5\vec{a}$, $\vec{CA} = -\vec{a} - \vec{b}$ ### Задание 5 Нарисуй два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ под углом друг к другу. Чтобы найти $2\vec{a} - 0,5\vec{b}$: 1. Удлиняешь вектор $\vec{a}$ в 2 раза ($2\vec{a}$). 2. Берешь половину вектора $\vec{b}$ и меняешь его направление на противоположное ($-0,5\vec{b}$). 3. Складываешь полученные векторы по правилу параллелограмма или треугольника.