Даны точки A(-3;1), B(1;-2) и C(-1;0). Найдите координаты векторов, модули векторов, скалярное произведение и косинус угла.

**1. Даны точки $A(-3; 1)$, $B(1; -2)$ и $C(-1; 0)$.** а) Координаты вектора $\vec{a}(x; y)$ находятся по формуле: $x = x_2 - x_1$, $y = y_2 - y_1$. $$\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$$ $$\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$$ **Ответ: $\vec{AB}(4; -3)$, $\vec{AC}(2; -1)$** б) Модуль вектора $\vec{a}(x; y)$ равен $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. $$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ **Ответ: $|\vec{AB}| = 5$, $|\vec{AC}| = \sqrt{5}$** в) Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$$ **Ответ: 11** г) Косинус угла $\alpha$ между векторами: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$. $$\cos \alpha = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$$ **Ответ: $\frac{11\sqrt{5}}{25}$** **2. Одно основание трапеции на 4 см больше другого, а средняя линия равна 8 см. Найдите основания трапеции.** Пусть меньшее основание равно $x$ см, тогда большее — $(x + 4)$ см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. $$8 = \frac{x + (x + 4)}{2}$$ $$16 = 2x + 4$$ $$2x = 12$$ $$x = 6$$ Меньшее основание — 6 см, большее — $6 + 4 = 10$ см. **Ответ: 6 см и 10 см.**