Контрольная работа по теме: «Векторы». Вариант 1. Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: координаты векторов, модули, координаты выражения векторов, скалярное произведение и косинус угла.

**Ответ:** 1. Даны точки $A(-3; 1), B(1; -2), C(-1; 0)$. 1) Координаты векторов: $\vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)$ $\vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$ 2) Модули векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ 3) Координаты вектора $\vec{m} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$: $2\vec{AB} = (8; -6)$ $3\vec{AC} = (6; -3)$ $\vec{m} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)$ 4) Скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$ 5) Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ 2. Построение векторов (правила сложения и вычитания): 1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (по правилу треугольника). 2) $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$ (по правилу вычитания векторов). 3) $\vec{CA} + \vec{CB}$ — строится по правилу параллелограмма от точки $C$. 3. Векторы $\vec{m}(4; 14)$ и $\vec{n}(-7; k)$: 1) Коллинеарны, если координаты пропорциональны: $\frac{4}{-7} = \frac{14}{k} \Rightarrow 4k = -98 \Rightarrow k = -24,5$ 2) Перпендикулярны, если скалярное произведение равно $0$: $4 \cdot (-7) + 14k = 0 \Rightarrow -28 + 14k = 0 \Rightarrow 14k = 28 \Rightarrow k = 2$ 4. В параллелограмме $ABCD$: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}$. Точка $M$ на $BC$, $BM:MC = 2:5 \Rightarrow \vec{BM} = \frac{2}{7}\vec{b}$. Точка $P$ на $CD$, $CP:PD = 3:1 \Rightarrow \vec{CP} = \frac{3}{4}\vec{CD} = -\frac{3}{4}\vec{a}$. По правилу многоугольника: $\vec{MP} = \vec{MC} + \vec{CP}$. Так как $\vec{MC} = \frac{5}{7}\vec{b}$, то $\vec{MP} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{b}$. 5. Найти $\cos \varphi$ между $\vec{a} = 4\vec{m} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{p}$, где $\vec{m} \perp \vec{p}$ и $|\vec{m}| = |\vec{p}| = 1$: Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4\vec{m} - \vec{p})(\vec{m} + 2\vec{p}) = 4\vec{m}^2 + 8\vec{m}\vec{p} - \vec{p}\vec{m} - 2\vec{p}^2$. Так как $\vec{m} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{m}^2 = 1$, $\vec{p}^2 = 1$, то: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4(1) + 0 - 0 - 2(1) = 2$. Длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{(4\vec{m} - \vec{p})^2} = \sqrt{16\vec{m}^2 - 8\vec{m}\vec{p} + \vec{p}^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$. $|\vec{b}| = \sqrt{(\vec{m} + 2\vec{p})^2} = \sqrt{\vec{m}^2 + 4\vec{m}\vec{p} + 4\vec{p}^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. $\cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}}$.