Даны точки A (-2; 3), B (1; -1), C (2; 4). Найдите: 1) координаты векторов AB и CA

1. 1) Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$: $$A(-2; 3), B(1; -1)$$ $$\overrightarrow{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (1 + 2; -4) = (3; -4)$$ Координаты вектора $\overrightarrow{CA}$: $$C(2; 4), A(-2; 3)$$ $$\overrightarrow{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$$ 2) Модуль вектора (его длина) находится по формуле $\sqrt{x^2 + y^2}$. Модуль вектора $\overrightarrow{AB}$: $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Модуль вектора $\overrightarrow{CA}$: $$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$ 3) Для нахождения координат вектора $\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA}$ сначала умножим векторы на скаляры, а затем вычтем их. Координаты вектора $3\overrightarrow{AB}$: $$3\overrightarrow{AB} = 3 \cdot (3; -4) = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$$ Координаты вектора $2\overrightarrow{CA}$: $$2\overrightarrow{CA} = 2 \cdot (-4; -1) = (2 \cdot (-4); 2 \cdot (-1)) = (-8; -2)$$ Теперь найдём координаты вектора $\overrightarrow{MN}$: $$\overrightarrow{MN} = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (9 + 8; -12 + 2) = (17; -10)$$ 4) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{CA}(x_2; y_2)$ находится по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$. Скалярное произведение $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}$: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = (3) \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$$ 5) Косинус угла между векторами находится по формуле $\cos\alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CA}|}$. Мы уже нашли: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = -8$ $|\overrightarrow{AB}| = 5$ $|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{17}$ Тогда косинус угла: $$\cos\alpha = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$$ **Ответ:** 1) $\overrightarrow{AB}(3; -4)$, $\overrightarrow{CA}(-4; -1)$ 2) $|\overrightarrow{AB}| = 5$, $|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{17}$ 3) $\overrightarrow{MN}(17; -10)$ 4) $-8$ 5) $-\frac{8}{5\sqrt{17}}$