В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) CD — медиана. Найдите угол DCB, если CD = 5,3, BC = 4,7.

**Ответ: \approx 26,3^{\circ}** **Решение:** 1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Значит, $CD = AD = DB = 5,3$. Гипотенуза $AB = 2 \cdot CD = 10,6$. 2. Рассмотрим треугольник $CDB$. В нём стороны $CD = 5,3$ и $DB = 5,3$. Значит, $\triangle CDB$ — равнобедренный с основанием $CB$. 3. По теореме косинусов для $\triangle CDB$ найдём $\cos \angle DCB$: $$BD^2 = CD^2 + BC^2 - 2 \cdot CD \cdot BC \cdot \cos \angle DCB$$ $$5,3^2 = 5,3^2 + 4,7^2 - 2 \cdot 5,3 \cdot 4,7 \cdot \cos \angle DCB$$ $$0 = 4,7^2 - 49,82 \cdot \cos \angle DCB$$ $$\cos \angle DCB = \frac{4,7^2}{49,82} = \frac{22,09}{49,82} \approx 0,4434$$ $$\angle DCB = \arccos(0,4434) \approx 63,7^{\circ}$$ — это угол при основании равнобедренного треугольника? **Поправка:** Проще использовать свойство равнобедренного треугольника $CDB$ ($CD=DB=5,3$): Проведём высоту $DH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике она является медианой, значит $CH = \frac{BC}{2} = \frac{4,7}{2} = 2,35$. Из прямоугольного $\triangle CDH$: $$\cos \angle DCB = \frac{CH}{CD} = \frac{2,35}{5,3} \approx 0,4434$$ $$\angle DCB \approx 63,7^{\circ}$$