1. В угол С величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О – центр окружности. Найдите угол АОВ.

1. **Ответ: 97°** Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла $C$, так как это касательные. В четырёхугольнике $OACB$ сумма углов равна $360°$. Значит: $\angle AOB = 360° - 90° - 90° - 83° = 180° - 83° = 97°$. 2. **Ответ: 21°** Пусть $\angle BCO = x$. Треугольники $AOB$, $BOC$ и $AOC$ равнобедренные (стороны — радиусы). $\angle OBA = \angle OAB = 48°$. $\angle OBC = \angle BCO = x$. $\angle OAC = \angle OCA = 69° - x$. В треугольнике $ABC$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$. $(48° + 69° - x) + (48° + x) + 69° = 180°$ $234° - x + x$ — этот метод не подходит. Используем сумму углов вокруг точки $O$ или свойство вписанного угла: $\angle ABC = 48° + x$. Сумма углов треугольника $ABC$: $180°$. В треугольнике $ABC$: $\angle A = 48 + (69-x)$, $\angle B = 48 + x$, $\angle C = 69$. $48 + 69 - x + 48 + x + 69 = 234 \neq 180$. **Допущение:** Точка $O$ лежит внутри треугольника. Тогда $\angle C = \angle OCA + \angle OCB$. $\\angle OBA = \angle OAB = 48°$. $\angle OBC = \angle BCO = x$. $\angle OAC = \angle OCA = 69° - x$. $\angle BAC = 48° + 69° - x$, $\angle ABC = 48° + x$. $(117° - x) + (48° + x) + 69° = 234°$. Это невозможно. Скорее всего, $\angle ABC = 69°$ (опечатка в условии, обычно $\angle C$ или весь угол). Если $\angle ABC = 69°$, тогда $\angle OBC = 69° - 48° = 21°$. Так как $OB=OC$, то $\angle BCO = \angle OBC = 21°$. 3. **Ответ: 36°** Пусть точка пересечения касательных — $P$. $\angle P = 72°$. В равнобедренном треугольнике $PAB$ (отрезки касательных равны) $\angle PAB = \angle PBA = (180° - 72°) / 2 = 54°$. Радиус $OB \perp PB$, значит $\angle ABO = 90° - 54° = 36°$. 4. **Ответ: 21°** Аналогично задаче №3: $\angle P = 42°$. $\angle PBA = (180° - 42°) / 2 = 138° / 2 = 69°$. $\angle ABO = 90° - 69° = 21°$. 5. **Ответ: 72 см** Касательная $AB$ перпендикулярна радиусу $OB$. Получаем прямоугольный треугольник $OBA$ ($\\angle B = 90°$). По теореме Пифагора: $OB^2 + AB^2 = AO^2$. $R^2 + 21^2 = 75^2$ $R^2 = 5625 - 441 = 5184$ $R = \sqrt{5184} = 72$. 6. **Ответ: 58°** Так как $AB$ — диаметр, то $\angle ANB = 90°$. В треугольнике $ANB$: $\angle NAB = 180° - 90° - 32° = 58°$. Углы $\angle NMB$ и $\angle NAB$ вписанные и опираются на одну и ту же дугу $NB$, значит они равны. $\angle NMB = \angle NAB = 58°$. 7. **Ответ: 15** Если центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, то $AB$ — диаметр, а треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90°$). Диаметр $AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 8,5 = 17$. По теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. $8^2 + BC^2 = 17^2$ $64 + BC^2 = 289$ $BC^2 = 225$ $BC = 15$.