В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O — центр окружности. Найдите угол AOB.

1. **Ответ: 97°** Радиусы, проведенные в точки касания ($OA$ и $OB$), перпендикулярны сторонам угла. В четырехугольнике $OACB$ сумма углов равна $360°$. $\angle AOB = 360° - 90° - 90° - 83° = 180° - 83° = 97°$. 2. **Ответ: 21°** В $\triangle OAB$ стороны $OA=OB$ (радиусы), значит $\angle OBA = \angle OAB = 48°$. Тогда $\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 69° - 48° = 21°$. В $\triangle OBC$ стороны $OB=OC$, значит $\angle BCO = \angle OBC = 21°$. 3. **Ответ: 108°** Аналогично первой задаче: угол между радиусами и угол между касательными в сумме дают $180°$. $\angle AOB = 180° - 72° = 108°$. 4. **Ответ: 69°** $\angle AOB = 180° - 42° = 138°$. $\triangle AOB$ равнобедренный ($OA=OB$). Углы при основании: $\angle ABO = (180° - 138°) : 2 = 42° : 2 = 21°$. 5. **Ответ: 72 см** Касательная $AB \perp$ радиусу $OB$. В прямоугольном $\triangle OBA$ по теореме Пифагора: $OB^2 = AO^2 - AB^2 = 75^2 - 21^2 = 5625 - 441 = 5184$. $OB = \sqrt{5184} = 72$. 6. **Ответ: 58°** $\angle ANB = 90°$, так как он опирается на диаметр $AB$. В $\triangle ANB$: $\angle NAB = 180° - 90° - 32° = 58°$. Углы $\angle NMB$ и $\angle NAB$ вписанные и опираются на одну дугу $NB$, значит $\angle NMB = \angle NAB = 58°$. 7. **Ответ: 15** Раз центр лежит на $AB$, то $AB$ — диаметр, $AB = 2 \cdot 8,5 = 17$. $\triangle ABC$ прямоугольный ($\angle C = 90°$). По теореме Пифагора: $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$. $BC = \sqrt{225} = 15$.