Точки D, E и F делят окружность на три дуги так, что UDE : UEF : UDF = 2 : 9 : 7. Найдите углы треугольника DEF.

1. Точки $D$, $E$ и $F$ делят окружность на три дуги в отношении $2:9:7$. Значит, сумма частей равна $2+9+7=18$. Вся окружность — это $360^ ext{o}$. Найдём градусные меры каждой дуги: Дуга $DE = \frac{2}{18} \cdot 360^ ext{o} = 40^ ext{o}$. Дуга $EF = \frac{9}{18} \cdot 360^ ext{o} = 180^ ext{o}$. Дуга $DF = \frac{7}{18} \cdot 360^ ext{o} = 140^ ext{o}$. Углы треугольника $DEF$ являются вписанными углами, которые опираются на эти дуги. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол $F$ опирается на дугу $DE$: $\angle F = \frac{1}{2} \cdot 40^ ext{o} = 20^ ext{o}$. Угол $D$ опирается на дугу $EF$: $\angle D = \frac{1}{2} \cdot 180^ ext{o} = 90^ ext{o}$. Угол $E$ опирается на дугу $DF$: $\angle E = \frac{1}{2} \cdot 140^ ext{o} = 70^ ext{o}$. Проверим сумму углов треугольника: $20^ ext{o} + 90^ ext{o} + 70^ ext{o} = 180^ ext{o}$. Всё верно. **Ответ:** $\angle D = 90^ ext{o}$, $\angle E = 70^ ext{o}$, $\angle F = 20^ ext{o}$.