8. Сколько существует натуральных чисел, в 23 раза больших своего наименьшего собственного делителя? Делитель называется собственным, если он больше 1, но меньше самого числа.

Пусть $n$ — искомое натуральное число, а $d$ — его наименьший собственный делитель. По условию: 1. $n = 23d$ 2. $d$ — наименьший собственный делитель. Это значит, что $d > 1$ и $d < n$. Разложим число $n$ на множители. Так как $d$ — наименьший делитель числа $n$ (больший 1), то $d$ обязательно должно быть простым числом. Если бы $d$ было составным, то у него был бы делитель меньше него самого, который также делил бы $n$, что противоречит определению наименьшего делителя. Значит, $n = 23 \cdot p$, где $p$ — простое число (наш наименьший делитель $d$). Разделим случаи для числа $p$: - Если $p = 2$, то $n = 23 \cdot 2 = 46$. Делители числа 46: 1, 2, 23, 46. Собственные делители: 2, 23. Наименьший собственный делитель — 2. Условие выполняется ($46 = 23 \cdot 2$). Это решение подходит. - Если $p = 23$, то $n = 23 \cdot 23 = 529$. Делители числа 529: 1, 23, 529. Собственный делитель только один — 23. Наименьший собственный делитель — 23. Условие выполняется ($529 = 23 \cdot 23$). Это решение подходит. - Если $p$ — простое число, большее 23, то число $n = 23 \cdot p$ будет иметь делители 23 и $p$. Так как $23 < p$, то наименьшим собственным делителем будет 23, а не $p$. Тогда условие "в 23 раза больше своего наименьшего собственного делителя" превращается в "$n = 23 \cdot 23 = 529$". Но мы уже проверили это, и $p$ должно было быть 23. Если $p > 23$, то $23$ — наименьший делитель, а значит $n = 23 \cdot 23$, что противоречит выбору $p > 23$. - Если $p$ — простое число, такое что $2 < p < 23$, то наименьшим собственным делителем числа $n = 23 \cdot p$ будет число $p$. Условие $n = 23 \cdot p$ выполняется. Например, для $p=3$, $n=69$. Делители: 1, 3, 23, 69. Наименьший собственный делитель — 3. Это подходит. Таким образом, подходят все числа вида $n = 23 \cdot p$, где $p$ — любое простое число, такое что $p \le 23$. Простые числа, не превосходящие 23: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Всего таких чисел 9. Ответ: 9.