№1. Вычислите: а) 2 * (1/49)^1/2 - 4^0; б) 4 * кубический корень из 160 * кубический корень из 0,2

Привет! Давай разберем задания из твоего листа. Будем идти по порядку: №1. Вычислите: а) $2 \cdot (\frac{1}{49})^{\frac{1}{2}} - 4^0 = 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{49}} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{7} - 1 = \frac{2}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{5}{7}$. б) $4 \sqrt[3]{160} \cdot \sqrt[3]{0,2} = 4 \sqrt[3]{160 \cdot 0,2} = 4 \sqrt[3]{32} = 4 \sqrt[3]{8 \cdot 4} = 4 \cdot 2 \sqrt[3]{4} = 8\sqrt[3]{4}$. №2. Найдите значение выражения: $\frac{38 \cos 153^\circ}{\cos 27^\circ}$. Так как $153^\circ = 180^\circ - 27^\circ$, то $\cos 153^\circ = -\cos 27^\circ$. Имеем: $\frac{38(-\cos 27^\circ)}{\cos 27^\circ} = -38$. №3. Упростите выражение: $(1-(2a-1)^{-2}) : (\frac{a-1}{2a-1} - \frac{1}{2a^2-a})$. Первая скобка: $1 - \frac{1}{(2a-1)^2} = \frac{(2a-1)^2 - 1}{(2a-1)^2} = \frac{4a^2-4a+1-1}{(2a-1)^2} = \frac{4a(a-1)}{(2a-1)^2}$. Вторая скобка: $\frac{a-1}{2a-1} - \frac{1}{a(2a-1)} = \frac{a(a-1)-1}{a(2a-1)} = \frac{a^2-a-1}{a(2a-1)}$. Деление заменяем умножением на обратную дробь: $\frac{4a(a-1)}{(2a-1)^2} \cdot \frac{a(2a-1)}{a^2-a-1} = \frac{4a^2(a-1)}{(2a-1)(a^2-a-1)}$. №4. $2\cos^2 x - 5\sin x + 1 = 0$. $2(1-\sin^2 x) - 5\sin x + 1 = 0 \Rightarrow -2\sin^2 x - 5\sin x + 3 = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0$. Пусть $t = \sin x$, $2t^2 + 5t - 3 = 0$, $D=25-4(2)(-3) = 49$, $t_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$. $t_1 = 0,5$, $t_2 = -3$ (не подходит, т.к. $|\sin x| \le 1$). $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. №5. $2x - 3 = \sqrt{x+6} \cdot \sqrt{x-2}$. Возведем в квадрат (при $2x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1,5$): $(2x-3)^2 = (x+6)(x-2) \Rightarrow 4x^2 - 12x + 9 = x^2 + 4x - 12 \Rightarrow 3x^2 - 16x + 21 = 0$. $D = 256 - 4(3)(21) = 256 - 252 = 4$. $x_1 = \frac{16+2}{6} = 3$ (проверка: $2(3)-3 = 3$, $\sqrt{9}\sqrt{1} = 3$. Верно); $x_2 = \frac{16-2}{6} = 14/6 = 7/3$ (проверка: $2(7/3)-3 = 14/3 - 9/3 = 5/3$, $\sqrt{25/3}\sqrt{1/3} = 5/3$. Верно). Ответ: 3; 7/3. №6. $\log_7 x = 2\log_7 5 + \frac{1}{2}\log_7 36 - \frac{1}{3}\log_7 125$. $\log_7 x = \log_7 25 + \log_7 6 - \log_7 5 = \log_7 (\frac{25 \cdot 6}{5}) = \log_7 30$. $x = 30$. №7. $\sin^4 \alpha + 2\cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha = 1$. $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + 2\cos^2 \alpha = 1$. $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\cos^2 \alpha = 1$. $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 + 2\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Доказано. №8. $\lim_{x \to -4} (5-3x-x^2) = 5 - 3(-4) - (-4)^2 = 5 + 12 - 16 = 1$. №9. $A(-1; 2; 3), B(1; 0; 4), C(3; -2; 1)$. $M$ - середина $BC$: $M = (\frac{1+3}{2}; \frac{0-2}{2}; \frac{4+1}{2}) = (2; -1; 2,5)$. Вектор $\vec{AM} = (2 - (-1); -1 - 2; 2,5 - 3) = (3; -3; -0,5)$. №10. Объем детали равен объему вытесненной воды. Площадь основания $S$ сосуда неизменна. $V_1 = S \cdot 14 = 5000$. $S = 5000/14$. $V_{детали} = S \cdot \Delta h = (5000/14) \cdot 7 = 5000 / 2 = 2500$ см³. №11. а) $\int (\sin x - 2)dx = -\cos x - 2x + C$. б) $\int_0^1 (3x^2 - x)dx = [x^3 - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (1 - 0,5) - 0 = 0,5$. №12. $y=x+2, y=1, x=0, x=2$. $S = \int_0^2 ((x+2) - 1) dx = \int_0^2 (x+1) dx = [\frac{x^2}{2} + x]_0^2 = (2 + 2) - 0 = 4$. №13. $y = x^3 - 4,5x^2 - 12x + 15$. $y' = 3x^2 - 9x - 12 = 3(x^2 - 3x - 4) = 3(x-4)(x+1)$. Критические точки: $-1$ и $4$. Точка максимума: $x=-1$, точка минимума: $x=4$. №14. $f(x) = 2x^2+x$. Первообразная $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C$. $F(1) = 1 \Rightarrow \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C = 1 \Rightarrow \frac{7}{6} + C = 1 \Rightarrow C = -1/6$. $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}$. №15. $S(t) = 3t^3 + 2t^2 - 4$. $v(t) = S'(t) = 9t^2 + 4t$. $a(t) = v'(t) = 18t + 4$. При $t=2$: $v(2) = 9(4) + 4(2) = 36+8=44$. $a(2) = 18(2) + 4 = 36+4=40$.