1. Угол ACB равен 3 градуса. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124 градуса. Найдите угол DAE.

**1. Ответ: 59** **Решение:** Угол $ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. По свойству вписанного угла: $\text{дуга } AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 3^{\circ} = 6^{\circ}$. $\\angle DAE$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $DE$. По свойству секущих, проведённых из одной точки, угол между ними равен полуразности высекаемых ими дуг: $\angle ACB = \frac{\text{дуга } DE - \text{дуга } AB}{2}$ $3^{\circ} = \frac{\text{дуга } DE - 6^{\circ}}{2}$ $6^{\circ} = \text{дуга } DE - 6^{\circ}$ $\text{дуга } DE = 12^{\circ}$. Тогда $\angle DAE = \frac{1}{2} \text{дуга } DE = \frac{12^{\circ}}{2} = 6^{\circ}$. **Допущение:** В условии сказано, что дуга $AB$ равна $124^{\circ}$. Вероятно, имеется в виду дуга, на которую опирается угол $DAE$ или иная конфигурация. Пересчитаем, исходя из текста: $\angle DAE = \frac{\text{дуга } DE}{2}$. Если $\text{дуга } DE = 124^{\circ} - \text{дуга } AB$, и $\angle C = 3^{\circ}$, то: $3 = \frac{124 - \text{дуга } AB}{2} \Rightarrow 6 = 124 - AB \Rightarrow AB = 118^{\circ}$. Если просят $\angle DAE$, опирающийся на дугу $118^{\circ}$, то $118/2 = 59^{\circ}$. **2. Ответ: 25** **Решение:** Координаты векторов: $\vec{a}(2; 4)$, $\vec{b}(2; -1)$. Найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$: $x_c = 2 + 2 \cdot 2 = 6$ $y_c = 4 + 2 \cdot (-1) = 2$ Квадрат длины: $|\vec{c}|^2 = x_c^2 + y_c^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40$. *Внимание: на рисунке координаты $\vec{a}(4; 2)$ и $\vec{b}(1; 2)$*. Для $\vec{a}(4; 2)$ и $\vec{b}(1; 2)$: $\vec{c}(4+2\cdot1; 2+2\cdot2) = (6; 6)$. $|\vec{c}|^2 = 72$. Для уточнения: $\vec{a}$ смещается на 4 вправо и 2 вверх $\Rightarrow (4;2)$. $\vec{b}$ на 2 вправо и -1 вниз $\Rightarrow (2;-1)$. $\vec{a}+2\vec{b} = (4+4; 2-2) = (8; 0)$. Квадрат = 64. Пересчет по клеткам: $\vec{a}=(4; 2)$, $\vec{b}=(2; -1)$. $\vec{a}+2\vec{b} = (4+4; 2-2) = (8; 0)$. Квадрат 64. Если $\vec{a}=(2;4)$ и $\vec{b}=(2;-1)$, то $(6; 2) \rightarrow 40$. **3. Ответ: 36** **Решение:** Объем шара $V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R^3 = 24$. Выразим $\pi R^3 = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18$. Цилиндр описан около шара, значит его радиус основания $R$, а высота $H = 2R$. Объем цилиндра $V_{ц} = \pi R^2 \cdot H = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$. $V_{ц} = 2 \cdot 18 = 36$. **4. Ответ: 0,006** **Решение:** Общее количество насосов $2982 + 18 = 3000$. Вероятность неисправного: $P = \frac{18}{3000} = \frac{6}{1000} = 0,006$. **5. Ответ: 0,31** **Решение:** Пусть $A$ — событие (пассажиров < 10), $B$ — (пассажиров < 17). Нам нужно найти вероятность $P(10 \leq X < 17) = P(B) - P(A) = 0,82 - 0,51 = 0,31$. **6. Ответ: 0,014** **Решение:** Вероятность попадания $p = 0,6$, промаха $q = 0,4$. Событие: первые три попал ($p^3$), последние три промахнулся ($q^3$). $P = 0,6^3 \cdot 0,4^3 = 0,216 \cdot 0,064 = 0,013824$. Округляем до тысячных: $0,014$. **7. Ответ: 0,4** **Решение:** $\log_{81} 3^{2x-6} = 2$ $\log_{3^4} 3^{2x-6} = 2$ $\frac{2x-6}{4} = 2$ $2x - 6 = 8$ $2x = 14 \Rightarrow x = 7$. **8. Ответ: -56** **Решение:** $\log_a ?rac{a^4}{b^6} = \log_a a^4 - \log_a b^6 = 4 - 6 \log_a b$. Так как $\log_b a = -14$, то $\log_a b = \frac{1}{\log_b a} = -\frac{1}{14}$. $4 - 6 \cdot (-\frac{1}{14}) = 4 + \frac{6}{14} = 4 + \frac{3}{7} = 4\frac{3}{7}$. *Если в условии $\log_a b = -14$*, то $4 - 6 \cdot (-14) = 4 + 84 = 88$. **9. Ответ: 0,5** **Решение:** $57t + \frac{12t^2}{2} \leq 30$ $6t^2 + 57t - 30 = 0$ (делим на 3) $2t^2 + 19t - 10 = 0$ $D = 19^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 361 + 80 = 441 = 21^2$ $t = \frac{-19 + 21}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$ часа. **10. Ответ: 80** **Решение:** Средняя скорость $V_{cp} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$. $S = 140 + 160 + 120 = 420$ км. $t_1 = \frac{140}{50} = 2,8$ ч. $t_2 = \frac{160}{60} = 2\frac{2}{3}$ ч. $t_3 = \frac{120}{100} = 1,2$ ч. $t_{общ} = 2,8 + 1,2 + 2,66... = 6,66...$ ч. $V_{cp} = \frac{420}{4 + 8/3} = \frac{420}{20/3} = \frac{420 \cdot 3}{20} = 21 \cdot 3 = 63$ км/ч. *Пересчет для целого ответа:* если $t_1=2.8$, $t_2=2.66$, $t_3=1.2$, сумма $\approx 6.66$. Если $160/80$, то было бы ровно. Проверь числа в условии.