1. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 129°. Найдите вписанный угол ACB.

1. Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности. Угол $AOD$ равен $129^\circ$. Найдем вписанный угол $ACB$. Так как $AC$ и $BD$ — диаметры, то они пересекаются в центре окружности $O$. Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, поэтому $ \angle BOC = \angle AOD = 129^\circ $. Треугольник $BOC$ равнобедренный, так как $BO = OC$ (радиусы). Значит, углы при основании равны: $ \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 129^\circ}{2} = \frac{51^\circ}{2} = 25.5^\circ $. Угол $ACB$ — это угол $OCB$. **Ответ:** $25.5$ 2. Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 15 и 3, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Скалярное произведение двух векторов можно найти по формуле: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $, где $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $ — длины векторов, а $ \alpha $ — угол между ними. $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 15 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 15 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 45 \cdot \frac{1}{2} = 22.5 $. **Ответ:** $22.5$ 3. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ точка $O$ — центр основания, $SD=39$, $AC=30$. Найдите длину отрезка $SO$. В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат. $AC$ — диагональ квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата связана со стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Отсюда $AC = a\sqrt{2}$, $30 = a\sqrt{2}$, значит $ a = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2} $. $O$ — центр основания, значит $AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$. Треугольник $SOD$ является прямоугольным, так как $SO$ — высота пирамиды, а $OD$ — половина диагонали $BD$. Так как основание квадрат, диагонали равны, поэтому $BD = AC = 30$, и $OD = \frac{1}{2} BD = 15$. По теореме Пифагора в треугольнике $SOD$: $SO^2 + OD^2 = SD^2$. $SO^2 + 15^2 = 39^2$ $SO^2 + 225 = 1521$ $SO^2 = 1521 - 225$ $SO^2 = 1296$ $SO = \sqrt{1296} = 36$. **Ответ:** $36$ 4. В чемпионате по гимнастике участвуют 35 спортсменок: 8 из Великобритании, 6 из Франции, остальные из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии. Общее количество спортсменок = 35. Количество спортсменок из Великобритании = 8. Количество спортсменок из Франции = 6. Количество спортсменок из Германии = $35 - 8 - 6 = 21$. Вероятность того, что первая выступающая спортсменка окажется из Германии, равна отношению количества спортсменок из Германии к общему количеству спортсменок. $ P = \frac{\text{Количество спортсменок из Германии}}{\text{Общее количество спортсменок}} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5} = 0.6 $. **Ответ:** $0.6$ 5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает – она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,04. Вероятность выигрыша $P(В) = 0.04$. Вероятность проигрыша $P(П) = 0.04$. Вероятность ничьей $P(Н) = 1 - P(В) - P(П) = 1 - 0.04 - 0.04 = 1 - 0.08 = 0.92$. Команда должна набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Возможные исходы и очки: 1. Выигрыш (3 очка) + Выигрыш (3 очка) = 6 очков. (Подходит) $P(ВВ) = P(В) \cdot P(В) = 0.04 \cdot 0.04 = 0.0016$. 2. Выигрыш (3 очка) + Ничья (1 очко) = 4 очка. (Подходит) $P(ВН) = P(В) \cdot P(Н) = 0.04 \cdot 0.92 = 0.0368$. 3. Ничья (1 очко) + Выигрыш (3 очка) = 4 очка. (Подходит) $P(НВ) = P(Н) \cdot P(В) = 0.92 \cdot 0.04 = 0.0368$. 4. Ничья (1 очко) + Ничья (1 очко) = 2 очка. (Не подходит) 5. Выигрыш (3 очка) + Проигрыш (0 очков) = 3 очка. (Не подходит) 6. Проигрыш (0 очков) + Выигрыш (3 очка) = 3 очка. (Не подходит) 7. Ничья (1 очко) + Проигрыш (0 очков) = 1 очко. (Не подходит) 8. Проигрыш (0 очков) + Ничья (1 очко) = 1 очко. (Не подходит) 9. Проигрыш (0 очков) + Проигрыш (0 очков) = 0 очков. (Не подходит) Суммируем вероятности подходящих исходов: $P(\text{выход в следующий круг}) = P(ВВ) + P(ВН) + P(НВ) = 0.0016 + 0.0368 + 0.0368 = 0.0752$. **Ответ:** $0.0752$ 6. Найдите корень уравнения $\log_7(1-5x) = \log_7 27$. Если $\log_b M = \log_b N$, то $M = N$. Значит, $1-5x = 27$. Решаем уравнение: $1-5x = 27$ $-5x = 27 - 1$ $-5x = 26$ $x = -\frac{26}{5}$ $x = -5.2$ Проверим ОДЗ: $1-5x > 0$. $1 - 5(-5.2) = 1 + 26 = 27 > 0$. Значение подходит. **Ответ:** $-5.2$ 7. Найдите значение выражения $(\sqrt{45} - \sqrt{20})\sqrt{5}$. Сначала упростим корни: $ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $ $ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $ Теперь подставим эти значения в выражение: $ (3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} $ $ (\sqrt{5})\sqrt{5} $ $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 $. **Ответ:** $5$ 8. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены 10 точек: $x={x_1, x_2, x_3, ..., x_{10}}$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна? Производная функции отрицательна в тех точках, где функция убывает. Рассмотрим точки на графике: * $x_1$: функция убывает $\Rightarrow f'(x_1) < 0$. * $x_2$: функция возрастает $\Rightarrow f'(x_2) > 0$. * $x_3$: функция возрастает $\Rightarrow f'(x_3) > 0$. * $x_4$: функция убывает $\Rightarrow f'(x_4) < 0$. * $x_5$: функция возрастает $\Rightarrow f'(x_5) > 0$. * $x_6$: функция возрастает $\Rightarrow f'(x_6) > 0$. * $x_7$: функция убывает $\Rightarrow f'(x_7) < 0$. * $x_8$: функция возрастает $\Rightarrow f'(x_8) > 0$. * $x_9$: функция убывает $\Rightarrow f'(x_9) < 0$. * $x_{10}$: функция убывает $\Rightarrow f'(x_{10}) < 0$. Функция убывает в точках $x_1, x_4, x_7, x_9, x_{10}$. Всего 5 таких точек. **Ответ:** $5$ 9. Рейтинг $R$ интернет-магазина вычисляется по формуле $R = r_{пок} - \frac{r_{пок} - r_{экс}}{(K+1) \cdot 0.02K + 0.1}$, где $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), $r_{экс}$ — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 10, их средняя оценка равна 0,45, а оценка экспертов равна 0,17. Дано: $r_{пок} = 0.45$ $r_{экс} = 0.17$ $K = 10$ Подставляем значения в формулу: $ R = 0.45 - \frac{0.45 - 0.17}{(10+1) \cdot 0.02 \cdot 10 + 0.1} $ $ R = 0.45 - \frac{0.28}{11 \cdot 0.2 + 0.1} $ $ R = 0.45 - \frac{0.28}{2.2 + 0.1} $ $ R = 0.45 - \frac{0.28}{2.3} $ $ \frac{0.28}{2.3} \approx 0.121739... $ $ R \approx 0.45 - 0.121739 \approx 0.328261 $ Округлим до сотых, если не указана точность, то обычно 2-3 знака. Округлим до трех знаков после запятой, как это часто принято в таких задачах. $ R \approx 0.328 $. **Ответ:** $0.328$