3. Длина вектора $\vec{a}$ равна 3, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, а скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ равно $15\sqrt{2}$. Найдите длину вектора $\vec{b}$.

1. Чтобы найти длину вектора $\vec{b}$, используем формулу скалярного произведения векторов: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$$Известно, что $|\vec{a}| = 3$, $\alpha = 45^\circ$, и $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15\sqrt{2}$. Подставим известные значения: $$15\sqrt{2} = 3 \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(45^\circ)$$ Значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$15\sqrt{2} = 3 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$ (если $\sqrt{2} \neq 0$, что верно): $$15 = 3 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2}$$ $$15 = \frac{3}{2} \cdot |\vec{b}|$$ Умножим обе части на $\frac{2}{3}$: $$|\vec{b}| = 15 \cdot \frac{2}{3}$$ $$|\vec{b}| = \frac{30}{3}$$ $$|\vec{b}| = 10$$ **Ответ: 10** 2. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 6. Найдите объём шара. Пусть $R$ — радиус шара. Так как радиус основания конуса равен радиусу шара, то радиус основания конуса также равен $R$. Поскольку конус вписан в шар, и радиус основания конуса равен радиусу шара, то высота конуса $h$ также равна радиусу шара $R$. Это возможно только если вершина конуса лежит на поверхности шара, а основание конуса является большим кругом шара. Формула объёма конуса: $$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ В нашем случае $r = R$ и $h = R$, поэтому: $$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 R = \frac{1}{3} \pi R^3$$ По условию, $V_{конуса} = 6$. Следовательно: $$\frac{1}{3} \pi R^3 = 6$$ $$\pi R^3 = 18$$ Формула объёма шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$$ Подставим найденное значение $\pi R^3 = 18$ в формулу объёма шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3} \cdot 18$$ $$V_{шара} = 4 \cdot 6$$ $$V_{шара} = 24$$ **Ответ: 24** 3. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Всего сумок: 100 Количество сумок с дефектами: 8 Количество сумок без дефектов: $100 - 8 = 92$ Вероятность того, что сумка окажется без дефектов, равна отношению количества сумок без дефектов к общему количеству сумок: $$P(\text{без дефектов}) = \frac{\text{Количество сумок без дефектов}}{\text{Общее количество сумок}} = \frac{92}{100} = 0,92$$ **Ответ: 0,92** 4. Найдите корень уравнения $\sqrt{15 - 2x} = 3$. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: $$(\sqrt{15 - 2x})^2 = 3^2$$ $$15 - 2x = 9$$ Вычтем 15 из обеих частей уравнения: $$-2x = 9 - 15$$ $$-2x = -6$$ Разделим обе части на -2: $$x = \frac{-6}{-2}$$ $$x = 3$$ Проверим решение, подставив $x=3$ в исходное уравнение: $$\sqrt{15 - 2 \cdot 3} = \sqrt{15 - 6} = \sqrt{9} = 3$$ Полученное значение совпадает с правой частью уравнения, значит, корень найден верно. **Ответ: 3** 5. Найдите $h(5+x) + h(5-x)$, если $h(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x-10}$. Сначала найдем $h(5+x)$: $$h(5+x) = \sqrt{5+x} + \sqrt{(5+x)-10} = \sqrt{5+x} + \sqrt{5+x-10} = \sqrt{5+x} + \sqrt{x-5}$$ Затем найдем $h(5-x)$: $$h(5-x) = \sqrt{5-x} + \sqrt{(5-x)-10} = \sqrt{5-x} + \sqrt{5-x-10} = \sqrt{5-x} + \sqrt{-5-x}$$ Теперь сложим $h(5+x)$ и $h(5-x)$: $$h(5+x) + h(5-x) = (\sqrt{5+x} + \sqrt{x-5}) + (\sqrt{5-x} + \sqrt{-5-x})$$ Заметим, что для того чтобы функции были определены, выражения под корнем должны быть неотрицательными: Для $h(x)$: $x \ge 0$ и $x-10 \ge 0 \Rightarrow x \ge 10$. Для $h(5+x)$: $5+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$ и $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Значит, для $h(5+x)$ должно быть $x \ge 5$. Для $h(5-x)$: $5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5$ и $-5-x \ge 0 \Rightarrow -5 \ge x \Rightarrow x \le -5$. Эти условия ($x \ge 5$ и $x \le -5$) не могут выполняться одновременно. Следовательно, выражение $h(5+x) + h(5-x)$ не определено для любого $x$, так как $h(5-x)$ будет определена только при $x \le -5$, а $h(5+x)$ только при $x \ge 5$. **Допущение: В условии задачи предполагается, что рассматриваются только те значения $x$, при которых оба слагаемых $h(5+x)$ и $h(5-x)$ определены. Исходя из анализа областей определения, таких $x$ не существует. Вероятно, в задаче либо есть опечатка в определении функции $h(x)$, либо ожидается упрощение алгебраического выражения без учета области определения.** Если проигнорировать область определения и просто подставить выражения, то сумма будет: $$h(5+x) + h(5-x) = \sqrt{5+x} + \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x} + \sqrt{-5-x}$$ Это выражение нельзя упростить до более компактной формы. Если же функция $h(x)$ определена как $h(x) = \sqrt{x + \sqrt{x-10}}$ или подобная, то решение будет другим. С текущим определением функции, выражение $h(5+x)+h(5-x)$ не имеет действительных значений, при которых оба слагаемых определены. В рамках школьной программы, скорее всего, ожидается, что под знаком корня должны быть неотрицательные числа. Так как условия определения $h(5+x)$ и $h(5-x)$ противоречат друг другу, то такого $x$ не существует. **Ответ: Невозможно вычислить, так как области определения $h(5+x)$ и $h(5-x)$ не пересекаются.**