Найти угол ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B, а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 19°.

1. Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рис.), а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $19^\circ$. Ответ дайте в градусах. * $CA$ — касательная к окружности, а $OA$ — радиус, проведённый к точке касания. Значит, угол $CAO$ равен $90^\circ$. Это прямой угол. * Угол $AOB$ — центральный, и он опирается на дугу $AB$, которая равна $19^\circ$. Поэтому угол $AOB = 19^\circ$. * Рассмотрим треугольник $CAO$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Угол $COA$ можно найти как $AOB = 19^\circ$. * По свойству внешнего угла треугольника $AOB$: $\angle COA = \angle OAC + \angle ACO$. Но здесь проще по-другому. * Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $OA = OB$ (как радиусы). Но это нам не особо поможет, так как $AB$ - дуга. * В прямоугольном треугольнике $CAO$ (угол $A=90^\circ$) мы знаем угол $AOC = 19^\circ$. Тогда угол $ACO = 90^\circ - 19^\circ = 71^\circ$. **Ответ:** $71$ 2. Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $6$ и $5$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)$ $\cos(60^\circ) = 0.5$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 5 \cdot 0.5 = 30 \cdot 0.5 = 15$ **Ответ: $15$** 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $B, A_1, B_1, C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $8$, а боковое ребро равно $6$. Многогранник $B A_1 B_1 C_1$ — это пирамида, основанием которой является треугольник $A_1 B_1 C_1$ (верхнее основание призмы), а вершина — точка $B$. Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота. В данной задаче: * Площадь основания пирамиды $S_{A_1B_1C_1}$ равна площади основания призмы, то есть $S_{A_1B_1C_1} = 8$. * Высота пирамиды $h$ — это боковое ребро призмы, так как $B$ находится в нижнем основании, а $A_1B_1C_1$ — в верхнем. Высота $h = 6$. $V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 48 = 16$ **Ответ: $16$** 4. Научная конференция проводится в $5$ дней. Всего запланировано $75$ докладов – первые три дня по $13$ докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора $М.$ окажется запланированным на последний день конференции? * Общее количество докладов: $75$. * Докладов в первые $3$ дня: $3 \cdot 13 = 39$. * Осталось докладов на четвёртый и пятый дни: $75 - 39 = 36$. * Докладов в четвёртый день: $36 / 2 = 18$. * Докладов в пятый день: $36 / 2 = 18$. * Вероятность того, что доклад профессора М. окажется в последний день (пятый день) = (количество докладов в пятый день) / (общее количество докладов). * $P = 18 / 75$. * Сократим дробь: $18/75 = 6/25 = 0.24$. **Ответ: $0.24$** 5. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже $36.8^\circ C$, равна $0.89$. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется $36.8^\circ C$ или выше. Вероятность того, что температура ниже $36.8^\circ C$, равна $P(<36.8) = 0.89$. Вероятность того, что температура $36.8^\circ C$ или выше ($P(\ge 36.8)$), является противоположным событием. Сумма вероятностей противоположных событий равна $1$. $P(\ge 36.8) = 1 - P(<36.8) = 1 - 0.89 = 0.11$ **Ответ: $0.11$** 6. Найдите корень уравнения $5^{x+7}=125$. Для решения уравнения нужно привести обе части к одному основанию. Мы знаем, что $125 = 5^3$. Тогда уравнение примет вид: $5^{x+7} = 5^3$ Поскольку основания равны, степени тоже должны быть равны: $x+7 = 3$ $x = 3 - 7$ $x = -4$ **Ответ: $-4$**