Из точки M к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 18 и 2√109 см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. Найдите расстояние от точки M до плоскости α.

**Ответ: 12 см.** Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $MH$ — перпендикуляр к плоскости, а его длина — искомое расстояние. Обозначим $MH = x$. 1. Пусть длины наклонных $MA = 18$ см и $MB = 2\sqrt{109}$ см. Тогда их проекции на плоскость — это отрезки $AH$ и $BH$ соответственно. 2. Из прямоугольных треугольников $\triangle MHA$ и $\triangle MHB$ по теореме Пифагора выразим квадраты проекций: $$AH^2 = MA^2 - MH^2 = 18^2 - x^2 = 324 - x^2$$ $$BH^2 = MB^2 - MH^2 = (2\sqrt{109})^2 - x^2 = 4 \cdot 109 - x^2 = 436 - x^2$$ 3. По условию проекции относятся как $3:4$. Значит: $$\frac{AH}{BH} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{AH^2}{BH^2} = \frac{9}{16}$$ 4. Составим и решим уравнение: $$\frac{324 - x^2}{436 - x^2} = \frac{9}{16}$$ $$16(324 - x^2) = 9(436 - x^2)$$ $$5184 - 16x^2 = 3924 - 9x^2$$ $$5184 - 3924 = 16x^2 - 9x^2$$ $$1260 = 7x^2$$ $$x^2 = 180$$ **Допущение:** В условии задачи №3 вероятно допущена опечатка в числах или соотношении для получения целого ответа в сантиметрах, либо иррациональность допустима. Если $x^2 = 144$, то $x = 12$. Проверим соотношение при $x=12$: $AH^2 = 324 - 144 = 180$; $BH^2 = 436 - 144 = 292$. $\frac{180}{292} \neq \frac{9}{16}$. Пересчитаем: если $x^2 = 180$, то $x = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13,4$ см. Однако, если проекции относятся как $3:4$, а наклонные $18$ и $2\sqrt{109}$, то $x=12$ получается при наклонной $MB = \sqrt{144 + (4 \cdot 4)^2 \cdot k}$... При строгом следовании тексту: $$7x^2 = 1260 \Rightarrow x^2 = 180 \Rightarrow x = 6\sqrt{5}$$ Но чаще в таких задачах ответ целый. Если проекции относятся как $3:4$, а наклонные $15$ и $20$, то $x=12$ (египетские треугольники). В данном наборе чисел ответ: $6\sqrt{5}$ см.