1. Угол С треугольника ABC - прямой. AD - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Докажите, что треугольник BCD - прямоугольный.

1. **Доказательство:** $AD \perp (ABC) \Rightarrow AD \perp BC$ (так как прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в ней). $\angle C = 90^{\circ} \Rightarrow AC \perp BC$. Так как $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AC$) плоскости $ADC$, то $BC \perp (ADC)$. Следовательно, $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $CD$ ($BC \perp CD$). Значит, $\triangle BCD$ — прямоугольный. 2. **Доказательство:** $ABCD$ — квадрат, значит его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$. $AH$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC) \Rightarrow AH \perp BD$. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AH$) плоскости $AHC$. Следовательно, $BD \perp (AHC)$. Так как прямая $HE$ лежит в плоскости $AHC$, то $BD \perp HE$. 3. **Ответ: $160\text{ см}^2$** $AE \perp (ABC), AB \perp BC \Rightarrow EB \perp BC$ (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, $\triangle BCE$ — прямоугольный ($\angle B = 90^{\circ}$). Из $\triangle ABE$ по теореме Пифагора: $EB = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = 20\text{ см}$. $S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot EB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 16 = 160\text{ см}^2$. 4. **Ответ: $135\text{ см}^2$** Пусть $K$ — середина $AB$. $OK \perp AB$ (как апофема в $\triangle AOB$). По теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$, значит $MK$ — высота $\triangle ABM$. $OK = \frac{1}{2} BC = \frac{18}{2} = 9\text{ см}$. Из $\triangle MOK$ ($\angle O = 90^{\circ}$): $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = 15\text{ см}$. $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 = 135\text{ см}^2$. 5. **Ответ: $24\text{ см} \cdot \sqrt{2} \approx 33,94\text{ см}$ (или $\sqrt{1152}$)** Пусть $AK$ — высота равнобедренного $\triangle ABC$. $K$ — середина $BC$ ($BK=12$). $AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = 16\text{ см}$. По ТТП $MK \perp BC$, значит $MK$ — искомое расстояние. $MK = \sqrt{AM^2 + AK^2} = \sqrt{24^2 + 16^2} = \sqrt{576 + 256} = \sqrt{832} = 8\sqrt{13}\text{ см}$. 6. **Ответ: $\frac{5\sqrt{7}}{3}\text{ см} \approx 4,41\text{ см}$** Пусть $OK$ — радиус вписанной окружности правильного $\triangle ABC$. $OK = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\text{ см}$. По ТТП $MK \perp AB$, $MK$ — расстояние до стороны. $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{25 + \frac{75}{9}} = \sqrt{25 + \frac{25}{3}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\text{ см}$.