В треугольнике ABC AB = BC = 25, AC = 48, BD — перпендикуляр к плоскости ABC, BD = √15. Найдите расстояние от точки D до прямой AC.

1. **Ответ: 8** **Решение:** 1) Пусть $BK$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$, проведённая к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит $AK = KC = AC / 2 = 48 / 2 = 24$. 2) Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора найдём $BK$: $$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$$ 3) Так как $BD \perp (ABC)$, то $BD \perp BK$. По теореме о трёх перпендикулярах, отрезок $DK$ является перпендикуляром к прямой $AC$ (так как $BK \perp AC$). Следовательно, длина $DK$ — это искомое расстояние. 4) Из прямоугольного треугольника $DBK$ по теореме Пифагора: $$DK = \sqrt{BD^2 + BK^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + 7^2} = \sqrt{15 + 49} = \sqrt{64} = 8$$ 2. **Ответ: $\arcsin 0,4$ (или $\approx 23,6^\circ$) и $\arcsin 0,4$ (или $\approx 23,6^\circ$)** **Решение:** 1) Угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABC$. Проекцией $B_1D$ на плоскость нижнего основания является $BD$. Угол — $\angle B_1DB$. В прямоугольном треугольнике $B_1BD$: $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ $$BB_1 = \sqrt{B_1D^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - (\sqrt{8})^2} = \sqrt{25 - 8} = \sqrt{17}$$ $$\sin(\angle B_1DB) = \frac{BB_1}{B_1D} = \frac{\sqrt{17}}{5}$$ Угол равен $\arcsin\frac{\sqrt{17}}{5}$. *Примечание: Если искать угол через синус противолежащего катета $BB_1$, то проекция на плоскость основания $ABC$ даёт $\sin \alpha = \frac{\sqrt{17}}{5}$.* 2) Угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $DD_1C_1C$. Перпендикуляром из $B_1$ к этой плоскости является ребро $B_1C_1$ (так как грани — прямоугольники). Проекция $B_1D$ на плоскость — это $C_1D$. Угол — $\angle B_1DC_1$. В прямоугольном треугольнике $B_1C_1D$ ($\angle B_1C_1D = 90^\circ$): $$B_1C_1 = 2\text{ см (сторона квадрата)}$$ $$B_1D = 5\text{ см}$$ $$\sin(\angle B_1DC_1) = \frac{B_1C_1}{B_1D} = \frac{2}{5} = 0,4$$ Угол равен $\arcsin 0,4$.