1. Отрезок $KA$ перпендикулярен плоскости параллелограмма $ABCD$. Точка $O$ — точка пересечения $AC$ и $BD$, $KO \perp BD$. Докажите, что $ABCD$ — ромб.

1. а) Так как $KA \perp ABCD$ и $KO \perp BD$, то по теореме о трёх перпендикулярах $AO \perp BD$. В параллелограмме $ABCD$ диагонали точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб. b) Прямая $KO$ перпендикулярна $BD$, а прямая $AO$ перпендикулярна $BD$. Значит, плоскость $KOA$ перпендикулярна $BD$. Следовательно, плоскости $KBD$ и $KOA$ перпендикулярны, так как одна из них ($KOA$) содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости ($KBD$) по линии их пересечения $KO$. в) Из треугольника $KAD$ (прямоугольный, так как $KA \perp AD$) и $KBD$ ($KA \perp BD$): $KD^2 = KA^2 + AD^2$ $KB^2 = KA^2 + BD^2$ В треугольнике $KBD$: $BD = 10$ см $\angle BKD = 90^\circ$ В прямоугольном треугольнике $KBD$ медиана $KO$ равна половине гипотенузы $BD$, то есть $KO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. В треугольнике $KOA$ (прямоугольный, так как $KA \perp AO$): $AO^2 = KO^2 - KA^2$ $AO^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ $AO = 4$ см Диагонали ромба $ABCD$ делятся пополам, поэтому $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см. Площадь ромба $ABCD$ равна половине произведения его диагоналей: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40$ см$^2$. **Ответ:** 40 см$^2$. 2. Пусть $O$ — центр правильного треугольника $ABC$. Радиус вписанной окружности $r$ (расстояние от центра до стороны) равен $\frac{S}{\frac{1}{2}P} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{3}{2}a} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Или $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$. Для правильного треугольника со стороной $AB=a=6$ см: $r = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см. Точка $S$ удалена от каждой из сторон на $\sqrt{39}$ см. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда $OM \perp AB$ и $SM \perp AB$. $SM = \sqrt{39}$ см. $OM = r = \sqrt{3}$ см. В прямоугольном треугольнике $SOM$: $SO^2 = SM^2 - OM^2 = (\sqrt{39})^2 - (\sqrt{3})^2 = 39 - 3 = 36$ $SO = 6$ см. Угол между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$ — это угол между $SA$ и $AO$. Радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. В прямоугольном треугольнике $SOA$: $\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. $\angle SAO = 60^\circ$. **Ответ:** $60^\circ$.