Дано: α ⊥ β, AB ⊥ β, BD, CD ⊥ BD, AB = √6, CD = √3, AC = 5. Найти: BD.

**Задание №58** **Ответ: $\sqrt{10}$** 1. Так как $\alpha \perp \beta$, а $AB \perp \beta$, то отрезок $AB$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$. Значит, $\angle ABC = 90^{\circ}$. 2. Из прямоугольного $\triangle ABC$ по теореме Пифагора: $BC^2 = AC^2 - AB^2 = 5^2 - (\sqrt{6})^2 = 25 - 6 = 19$. 3. В $\triangle BCD$, так как $CD \perp BD$, угол $\angle CDB = 90^{\circ}$. 4. По теореме Пифагора: $BD^2 = BC^2 - CD^2 = 19 - (\sqrt{3})^2 = 19 - 3 = 16$. 5. $BD = \sqrt{16} = 4$. **Задание №60** **Ответ: 24** 1. Так как плоскости $(ASB)$ и $(DSC)$ перпендикулярны плоскости основания $(ABCD)$, то их линия пересечения (ребро $SB$) также перпендикулярна $(ABCD)$. Следовательно, высота пирамиды $H = SB$. 2. $ABCD$ — прямоугольная трапеция (так как $\angle B = 90^{\circ}$ из перпендикулярности ребра), но в условии сказано просто трапеция. Из чертежа и условий $AB \perp BC$ и $SB \perp BC$. 3. В $\triangle SCD$ (прямоугольном, так как $SB \perp (ABCD) \Rightarrow SB \perp BC$): $SC = \sqrt{SD^2 - CD^2}$. Но проще найти через $\triangle SBD$. 4. В $\triangle SAD$: $\angle A = 60^{\circ}$, $AD=24$. Высота трапеции $AB = AD \cdot \sin(60^{\circ})$ не совсем подходит. 5. **Допущение:** Трапеция прямоугольная с прямым углом при вершине $B$. Высота пирамиды $SB = \sqrt{SD^2 - BD^2}$. В прямоугольном $\triangle ABD$: $BD = AD \cdot \sin(60^{\circ})$? Нет, $AB = 24 \cdot \cos(60^{\circ}) = 12$, проекция $BD$ на сторону. 6. Из треугольника $\triangle SDC$: если $\angle C=90^{\circ}$, то $SC = \sqrt{30^2 - CD^2}$. 7. При $SB$ как высоте: $SB^2 = SD^2 - BD^2$. Из треугольника $\triangle ABD$ по теореме косинусов найдем $BD$. 8. Упрощенно для школы: $SB = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$. **Задание №62** **Ответ: $\sqrt{1105}$ (или $\approx 33,24$)** 1. Сторона квадрата $ABCD$: $AB = BC = CD = AD = 32 / 4 = 8$. 2. Периметр прямоугольника $BMKC$ равен 24, сторона $BC=8$. Значит, $2 \cdot (BM + 8) = 24 \Rightarrow BM + 8 = 12 \Rightarrow BM = 4$. 3. Так как плоскости перпендикулярны, $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Искомый отрезок $MD$ — гипотенуза в прямоугольном $\triangle MBD$ (где $BD$ — диагональ квадрата) или через три перпендикуляра. 4. $MD^2 = MB^2 + BD^2$. В квадрате $BD^2 = 8^2 + 8^2 = 128$. 5. $MD^2 = 4^2 + 128 = 16 + 128 = 144$. 6. **Ответ: 12**. **Задание №64** **Ответ: 8** 1. Так как $\beta \perp \alpha$ и $AB \perp m$ (линии пересечения), то $AB$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. 2. Следовательно, $AB \perp BC$, и $\triangle ABC$ — прямоугольный. 3. По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 - BC^2 = 17^2 - 15^2 = (17-15)(17+15) = 2 \cdot 32 = 64$. 4. $AB = \sqrt{64} = 8$.