Решите задачи из Варианта II по геометрии про перпендикулярность прямых и плоскостей, наклонные и расстояние от точки до вершин треугольника.

Выполню решение первых трёх заданий из Варианта II, представленного на странице. **1. Условие: $AB \perp \alpha$, $CD \parallel AB$ ($B \in \alpha$, $D \in \alpha$), $E \in \alpha$, $\angle ECD = 40^{\circ}$. Тогда $\angle CED$ равен...** Ответ: $50^{\circ}$ Решение: 1. Так как $AB \perp \alpha$ и $CD \parallel AB$, то по свойству параллельных прямых $CD \perp \alpha$. 2. Из того, что $CD \perp \alpha$, следует, что прямая $CD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, значит $CD \perp DE$. Треугольник $CDE$ — прямоугольный ($\angle CDE = 90^{\circ}$). 3. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^{\circ}$. 4. $\angle CED = 90^{\circ} - \angle ECD = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. **2. Условие: Две наклонные, проведенные к плоскости, имеют равные проекции. Равны ли сами наклонные?** Ответ: Да. Решение: Пусть из точки $P$ к плоскости проведен перпендикуляр $PO$ и две наклонные $PA$ и $PB$. Их проекции — $OA$ и $OB$. По условию $OA = OB$. Треугольники $POA$ и $POB$ прямоугольные и равны по двум катетам ($PO$ — общий, $OA = OB$). Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: $PA = PB$. **3. Условие: Точка $D$ равноудалена от всех вершин правильного треугольника и находится на расстоянии 3 см от его плоскости. Высота треугольника равна 6 см. Расстояние от точки $D$ до вершин треугольника равно...** Ответ: $\sqrt{25} = 5$ см Решение: 1. Так как точка $D$ равноудалена от вершин, её проекция $O$ на плоскость треугольника является центром описанной окружности. Расстояние от $D$ до вершин — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами $H = 3$ см (высота от точки до плоскости) и $R$ (радиус описанной окружности). 2. В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (высот). Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. 3. Значит, $R = \frac{2}{3} h_{треуг} = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см. 4. По теореме Пифагора расстояние до вершины $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.