Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Question

Вопрос:

Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $a$ — сторона основания (квадрата) правильной четырёхугольной призмы, $h$ — её высота, а $d$ — диагональ призмы. 1. Рассмотрим угол между диагональю и плоскостью боковой грани. Проекция диагонали на боковую грань — это диагональ этой грани. Сама диагональ призмы, её проекция и перпендикуляр к грани (сторона основания $a$) образуют прямоугольный треугольник. По условию угол равен $30^{\circ}$, значит: $\sin 30^{\circ} = \frac{a}{d} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a}{d} \Rightarrow d = 2a$. 2. Диагональ основания призмы (квадрата) равна $a\sqrt{2}$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $d$, её проекцией на основание (диагональю основания $a\sqrt{2}$) и высотой $h$. Пусть $\alpha$ — искомый угол между диагональю и плоскостью основания. $\cos \alpha = \frac{a\sqrt{2}}{d} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 4. Так как $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\alpha = 45^{\circ}$. **Ответ: 45°**.

Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Ответ ассистента

Другие решения